Enunciado

Encontre o volume do sólido descrito por S . O sólido S é delimitado por círculos que são perpendiculares ao eixo x , cruzam o eixo x e têm centros na parábola y = 1 2 ⋅ 1 - x 2 ,     - 1 ≤ x ≤ 1 .

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular o volume do seguinte sólido S :

Algumas características desse sólido:

  • é delimitado por círculos que são perpendiculares ao eixo x ;
  • cruzam o eixo x ;
  • têm centros na parábola y = 1 2 ⋅ 1 - x 2 ,     - 1 ≤ x ≤ 1 .

Podemos determinar o volume V da seguinte forma:

V = π ⋅ ∫ a b y 2   d x

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Se temos círculos perpendiculares ao eixo x nossa integral é dada em x . Assim, teremos

y = 1 2 ⋅ 1 - x 2   ,     - 1 ≤ x ≤ 1  

Nosso volume é dado por

V = π ⋅ ∫ a b y 2   d x

Então, substituindo os valores vamos ter

V = π ⋅ ∫ - 1 1 1 2 ⋅ 1 - x 2 2   d x ∴

V = π 4 ⋅ ∫ - 1 1 1 - 4 x 2 + x 4 d x ∴

V = π 4 ⋅ x - 4 x 3 3 + x 5 5 - 1 1 ∴

V = 4 π 15

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

4 π 15

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se um fluido entra em um tanque semiesférico com raio de 3m , a uma taxa de 0,5m 3 / m i n , com que velocidade estará subindo quando a profundidade for de 1,5m ? [Sugestão Veja o exercicio 55 .]
A figura a seguir mostra as dimensões de uma pequena lâmpada em 10 pontos igualmente espaçados.(a) Use fórmulas de Geometria para fazer uma primeira estimativa do volume englobado pela parte de vidro
A figura abaixo mostra uma calota esférica de raio ρ e altura h cortada de uma esfera de raio r . Mostre que o volume V da calota pode ser expresso como: V = 1 3 π h 2 ( 3 r - h ) V = π h 6 3 e 2 + h
Encontre o volume da cunha descrita no Exercício 61 por fatiamento perpendicular ao eixo x .
Em 1635, Bonaventura Cavalieri, um aluno de Galileu, estabeleceu o seguinte resultado, chamado princípio de Cavalierri: Se dois sólidos tiverem a mesma altura, e se as áreas de suas seções transversai