Enunciado

A figura a seguir mostra as dimensões de uma pequena lâmpada em 10 pontos igualmente espaçados.

(a) Use fórmulas de Geometria para fazer uma primeira estimativa do volume englobado pela parte de vidro da lâmpada.

(b) Use a média das aproximações pelas extremidades à esquerda e à direita para aproximar o volume.

Passo 1

Bom galera, a lâmpada tendo 5   c m de comprimento é dividido em 10 partes iguais. Então, o comprimento de cada sub-intervalo com 0,5   c m cada. Podemos considerar toda divisão da lâmpada como um cilindro com altura de 0,5   c m e área de base como a área da seção transversal na extremidade esquerda ou direita.

V volume aproximado da lâmpada será a soma do volume de todos os 10 cilindros.

Vamos calcular o volume de toda a divisão cilíndrica pela área como a área da seção transversal nas extremidades esquerdas. O volume da enezima divisão cilíndrica é:

V = A n ⋅ 0,5

= ∑ n = 1 10 A n ⋅ 0,5

= 0,5 ∑ n = 1 10 A n

= 0,5 ∑ n = 1 10 π ⋅ d n 2 4

= 0,5 π 4 ∑ n = 1 10 d n 2

Onde d n 2 são os diametros da seção transverssal.

Passo 2

Belezinha, considerando que a seção transvessal do lado esquerdo é a divisão de uma base cilíndrica, então o volume aproximado fica:

V = 0,5 π 4 0 + 2 2 + 2,45 2 + 2,45 2 + 2 2 + 1,45 2 + 1,26 2 + 1,25 2 + 1,25 2 + 1,25 2

V ≈ 11,1572   c m 3

Passo 3

Show de bola, e considerando que a seção transversal do lado direito é a divisão de uma base cilíndrica, então aproximação do volume fica:

V = 0,5 π 4 2 2 + 2,45 2 + 2,45 2 + 2 2 + 1,4 6 2 + 1,26 2 + 1,25 2 + 1,25 2 + 1,25 2 + 1,25 2

V ≈ 11 , 7708   c m 3

A média das duas aproximações vida:

V m = 11,1573 + 11,7708 2

V m = 11,4640   c m 3

Resposta

11,4640   c m 3

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