Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos

y 2 = x ,   x = 2 y ;           e m   t o r n o   d o   e i x o   y

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar o volume do sólido gerado ao rotacionar a função apresentada em torno do eixo especificado. Para isso, utilizaremos o conceito de Volume de Sólidos de revolução e as técnicas de integração para calcular o valor desse volume. Após encontrar o volume, iremos esboçar graficamente o sólido e a região.

Passo 2

Utilizando a definição de volume de sólido de revolução, podemos escrever a seguinte integral

V = ∫ 0 2 π 2 y 2 d y - ∫ 0 2 π y 2 2 d y

Resolvendo a integral, temos

V = ∫ 0 2 π 4 y 2 - y 4 d y = π 4 3 y 3 - y 5 5 0 2 = π 32 3 - 32 5 = 64 π 15

Passo 3

Podemos esboçar graficamente a região e o sólido da seguinte maneira

Resposta

V = 64 π 15

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada p
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da re
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pel
9 - Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitad
Encontre o volume obtido pela rotação da região delimitada pelas curva
Alguns dos pioneiros do cálculo, como Kepler e Newton, foram inspirado
Encontre o volume do sólido resultante se a região sob a curva y = 1 x
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pel
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pel