Enunciado

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.

y = 1 4 x 2 , x = 2 ,   y = 0 ;     e m   t o r n o   d o   e i x o   y

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos uma região limitada pelas seguintes curvas:

y = 1 4 x 2 , x = 2 ,   y = 0

Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo y   obtemos um sólido. O enunciado pede pra a gente encontrar o volume edsse sólido! Para isso vamos usar a seguinte fórmula:

V = ∫ a b A x d x

Além disso precisamos esboçar a região, o sólido e um disco ou arruela típicos que respresente a secção transversal!

Vamos colocar a mão na massa!

Passo 2

Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas:

y = 1 4 x 2 → x = 4 y = 2 y

x = 2

  y = 0

Temos que a área é representada pela figura abaixo:

Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são: a = 0 e b = 1 . Nesse caso vai ser mais interessante integrar com respeito a y .

Passo 3

Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com secção transversal circular e o seu raio vai ser igual a:

x = 2 y

  x = 2

Percebe que aqui a gente tem dois “raios”. Um interno e um exerno!

Agora vamos esboçar o sólido e a arruela:

Essa região sombreada é o disco que representa a secção transversal da arruela!

Passo 4

Para calcular o volume temos:

V = ∫ a b A x d y

Essa área é dada por:

A y = π 2 2 - 2 y 2

A y = 4 π 1 - y

Substituindo na fórmula do volume e integrando:

V = ∫ 0 2 4 π 1 - y   d y   = 4 π y - y 2 2 0 1

Aplicando os limites de integração:

V = 4 π 1 - 1 2 - 0

V = 2 π

Prontinho!

Resposta

V = 2 π

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