Enunciado

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.

y = e - x ,   y = 1 ,   x = 2 ;           e m   t o r n o   d e   y = 2

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos uma região limitada pelas seguintes retas:

y = e - x ,   y = 1 ,   x = 2

Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo y = 2 obtemos um sólido. O enunciado pede pra a gente encontrar o volume edsse sólido! Para isso vamos usar a seguinte fórmula:

V = ∫ a b A x d x

Além disso precisamos esboçar a região, o sólido e um disco ou arruela típicos que respresente a secção transversal!

Vamos colocar a mão na massa!

Passo 2

Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas:

y = e - x

  y = 1

  x = 2

Temos que a área é representada pela figura abaixo:

Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são: a = 0 e b = 2 .

Passo 3

Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com secção transversal circular e o seu raio vai ser igual a:

y = 2 - e - x

  x = 2 - 1

Percebe que aqui a gente tem dois “raios”. Um interno e um exerno! Além disso a gente pegou a função dada e diminuiu de 2 , que é o eixo de rotação!

Agora vamos esboçar o sólido e a arruela:

Essa região sombreada é o disco que representa a secção transversal da arruela!

Passo 4

Para calcular o volume temos:

V = ∫ a b A x d y

Essa área é dada por:

A x = π 2 - e - x 2 - π 2 - 1 2

A x = π 4 + e - 2 x + 4 e - x - π

A x = π 3 + e - 2 x + 4 e - x

Substituindo na fórmula do volume e integrando:

V = ∫ 0 2 π 3 + e - 2 x + 4 e - x = π 3 x + 4 e - x - e - 2 x 2 0 2

Aplicando os limites de integração:

V = π 6 + 4 e 2 - 1 2 e 4 - π 4 - 1 2

V = π 5 2 + 4 e 2 - 1 2 e 4

Prontinho!

Resposta

V = π 5 2 + 4 e 2 - 1 2 e 4

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