Enunciado

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.

y = 1 x , x = 1 ; x = 2 ;       y = 0 ; em torno do eixo x

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos uma região limitada pelas seguintes retas:

y = 1 x , x = 1 ; x = 2 ;       y = 0

Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo x obtemos um sólido. O enunciado pede pra a gente encontrar o volume edsse sólido! Para isso vamos usar a seguinte fórmula:

V = ∫ a b A x d x

Além disso precisamos esboçar a região, o sólido e um disco ou arruela típicos que respresente a secção transversal!

Vamos colocar a mão na massa!

Passo 2

Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas:

y = 1 x

x = 1

x = 2

      y = 0

Temos que a área é representada pela figura abaixo:

Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são: a = 1 e b = 2 .

Passo 3

Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com secção transversal circular e o seu raio vai ser igual a reta:

y = 1 x

Que é a curva que limita a nossa região! Agora vamos esboçar o sólido e o disco:

Essa região sombreada é o disco que representa a secção transversal no sólido!

Passo 4

Para calcular o volume temos:

V = ∫ a b A x d x

Essa área é dada por:

A x = π 1 x 2

A x = π x 2

Substituindo na fórmula do volume e calculando a integral:

V = ∫ 1 2 π x 2 d x = π - 1 x 1 2

V = π - 1 2 + 1

V = π 2

Prontinho!

Resposta

V = π 2

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