Enunciado

Mostre que as funções nos Exercícios 81-87 são todas soluções da equação de onda.

Passo 1

Calcule todas as primeiras derivadas parciais.

∂ w ∂ t = ∂ ∂ t [ t a n ⁡ ( 2 x - 2 c t ) ] = s e c 2 ⁡ ( 2 x - 2 c t ) ⋅ ( - 2 c ) = - 2 c s e c 2 ⁡ ( 2 x - 2 c t ) ∂ w ∂ x = ∂ ∂ x [ t a n ⁡ ( 2 x - 2 c t ) ] = s e c 2 ⁡ ( 2 x - 2 c t ) ⋅ 2 = 2 s e c 2 ⁡ ( 2 x - 2 c t ) ∂ 2 w ∂ t = ∂ ∂ t ∂ w ∂ t = ∂ ∂ t - 2 c s e c 2 ⁡ ( 2 x - 2 c t ) = - 2 c [ 2 s e c ⁡ ( 2 x - 2 c t ) ⋅ s e c ⁡ ( 2 x - 2 c t ) ⋅ t a n ⁡ ( 2 x - 2 c t ) ⋅ ( - 2 c ) ] = 8 c 2 s e c 2 ⁡ ( 2 x - 2 c t ) t a n ⁡ ( 2 x - 2 c t ) c 2 ∂ 2 w ∂ x 2 = c 2 ∂ ∂ x ∂ w ∂ x = c 2 ∂ ∂ x 2 s e c 2 ⁡ ( 2 x - 2 c t ) = 2 c 2 [ 2 s e c ⁡ ( 2 x - 2 c t ) ⋅ s e c ⁡ ( 2 x - 2 c t ) ⋅ t a n ⁡ ( 2 x - 2 c t ) ⋅ 2 ] = 8 c 2 s e c 2 ⁡ ( 2 x - 2 c t ) t a n ⁡ ( 2 x - 2 c t )

A equação da onda é satisfeita.

Resposta

A equação da onda é satisfeita. Veja a explicação.

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