Enunciado

Se x 1 = y e x 2 = y ’, então a equação de segunda ordem

y ' ' + p t y ' + q t y = 0

corresponde ao sistema.

x 1 ' = x 2

x 2 ' = - q t x 1 - p ( t ) x 2

Mostreque, se x ( 1 ) e x ( 2 ) formarem um conjunto fundamental de soluções para as Eqs. (ii) e se y ( 1 ) e y ( 2 ) formarem um conjunto fundamental de soluções para a Eq.(i), então W [ y ( 1 ) ,   y ( 2 ) ]   =   c W [ x ( 1 ) ,   x ( 2 ) ] , em que c é uma constante não nula.

Passo 1

Podemos dizer que :

W x ( 1 ) , x ( 2 ) = c e - ∫ p t d t

Para a EDO linear de segunda ordem, o Wronskiano satisfaz a EDO de primeira ordem

W ' + p t W = 0

Seguindo isso:

W y ( 1 ) , y ( 2 ) = c e - ∫ p t d t

Alternativamente:

y 1 = a 11 x 11 + a 12 x 12

y 2 = a 2 1 x 11 + a 2 2 x 12

O cálculo direto mostra que:

W y ( 1 ) , y ( 2 ) = a 11 x 11 + a 12 x 12 a 21 x 11 + a 22 x 12 a 11 x 11 ' + a 12 x 12 ' a 21 x 11 ' + a 22 x 12 '

Tirando o det ⁡ W temos que x 1 e x 2 = y ' , teremos:

x 2 ' = - q t x 1 p t x 2

Então:

= a 11 x 11 + a 12 x 12 a 21 x 11 ' + a 22 x 12 ' - a 11 x 11 ' + a 12 x 12 ' a 21 x 11 + a 22 x 12

= x 11 x 12 ' a 11 a 22 + a 12 x 2 1 - x 1 2 x 1 1 ' a 11 a 22 + a 12 x 21

Usando o fato que x 1 ' = x 2 .

Então:

W y ( 1 ) , y ( 2 ) = a 11 a 22 + a 12 x 21 W x ( 1 ) , x ( 2 )    

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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