Enunciado

Enuncie uma fórmula integral para encontrar o comprimento de arco de uma curva lisa y = f ( x ) acima de um intervalo [ a ,   b ] e use somas de Riemann para derivar a fórmula dada.

Passo 1

Para encontrarmos a integral, usamos o método do fatiamento para que as áreas possam ser aproximadas por fórmulas elementares. Assim, a área de cada parte da superfície aproximante pode ser obtida pela fórmula:

S = π ( r 1 + r 2 ) l (1)

A área lateral S k do k -ésimo tronco de cone é:

S = π [ f x k - 1 + f x k ] ∆ x k 2 + f x k - f x k - 1 2  

Se somarmos essas áreas, vamos obter a seguinte aproximação da área   S da superfície inteira:

S ≈ ∑ k = 1 n π f x k - 1 + f x k ∆ x k 2 + f x k - f x k - 1 2  

Para colocar isso na forma de uma soma de Riemann, vamos aplicar o Teorema do Valor Médio. Esse teorema implica a existência de um ponto entre x k - 1 e x k , tal que:

f x k - f x k - 1 x k - x k - 1 = f ' ( x k )

e, assim, podemos reescrever :

S ≈ ∑ k = 1 n π f x k - 1 + f x k ∆ x k 2 + f ' x k 2 ∆ x k 2  

= ∑ k = 1 n π f x k - 1 + f x k 1 + f ' x k 2   ∆ x k

No entanto, isso ainda não é uma soma de Riemann, pois envolve as variáveis x k - 1 e x k . Para eliminar essas variáveis da expressão, observe que o valor médio dos números f x k - 1 e f x k está entre esses números. Dessa forma, a continuidade de f e o Teorema do Valor Intermediário implicam a existência de um ponto entre x k - 1 e x k * * . Logo,

S ≈ ∑ k = 1 n π f x k * * 1 + f ' x k 2   ∆ x k

Aplicando o limite para a integração:

S = lim ∆ x k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n 2 π f x k * * 1 + f ' x k 2   ∆ x k

S = ∫ a b 2 π f x 1 + [ f ' x k ] 2   ∆ x k

Prontinho!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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