Enunciado

Faça o seguinte:

a ) Estabeleça uma integral para o comprimento da curva.

b ) Trace a curva para ver como ela é

c ) Use seu programa gráfico ou programa para calcular integrais e determine o comprimento da curva numericamente.

y = tg ⁡ x

- π 3 ≤ x ≤ 0

Passo 1

Letra a

Para calcularmos o comprimento da curva, devemos usar a fórmula para o comprimento.

Como temos uma função de x , a fórmula vai ser:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Entao precisamos de duas coisas, o intervalo de intergração, que ele deu no enunciado, e a derivada da f x , que é a função do enunciado.

O intervalo é de x = - π 3 até x = 0 , vamos para a derivada.

f x = tg ⁡ x

Derivando:

f ' x = sec 2 ⁡ x

Passo 2

Vamos para a interal do comprimento agora, usando oque achamos:

L = ∫ - π 3 0 1 + sec 2 ⁡ x 2 d x

L = ∫ - π 3 0 1 + sec 4 ⁡ x d x

Ele so quer a integral mesmo, não precisamos resolver não.

Passo 3

Letra b

Jogando a função num programa de fazer gráfico, vamos ter:

Essa é a curva que ele pediu.

Passo 4

Letra c

Jogando essa integral num programa, para resolver numericamente, vamos encontrar:

L ≅ 2,06

Resposta

Letra a

L = ∫ - π 3 0 1 + sec 4 ⁡ x d x

Letra b

Letra c

L ≅ 2,06

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