Enunciado

Calcule o comprimento da curva.

y = int_1^x sqrt(t^3 - 1) d t , 1 <= x <= 4

Passo 1

Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Essa é mais uma questão sobre cálculo de comprimento de curvas. Se você chegou até no capítulo já deve ter decorado a fórmula do comprimento de uma curva y = y (x) com x entre a e b , né? Se você não lembra eu vou te ajudar:

L = int_a^b sqrt(1 + (y^')^2) d x

Com isso, temos que achar a derivada da curva, substituir na fórmula e calcular a integral. Nesse caso, a função é dada por uma integral:

y = int_1^x sqrt(t^3 - 1) d t

Para achar a derivada dessa curva, usamos a parte 1 do teorema fundamental do cálculo (vai dar uma olhadinha na seção 3 do capítulo 5):

g (x) = int_a^x f (t) d t => g^' (x) = f (x)

Isso significa que a derivada da integral é a própria função que seria integrada. Com isso,

y = int_1^x sqrt(t^3 - 1) d t => y^' = sqrt(x^3 - 1)

Eu sei que a primeira ideia que você teve foi integrar sqrt(t^3 - 1) e depois tomar a derivada, mas você ia perder um tempo gigantesco e nem sei se é possível fazer essa integral na mão. Olha como usando o conhecimento prévio que você já tem as coisas ficam muito mais simples!

Passo 2

Agora vamos usar a fórmula do comprimento de arco:

1 + (y^')^2 = 1 + x^3 - 1 = x^3

Logo,

L = int_a^b sqrt(1 + (y^')^2) d x

= int_1^4 sqrt(x^3) d x

= int_1^4 x^(3 // 2) d x

Agora é só fazer a integral:

L = ((2)/(5) x^((5)/(2)))_1^4 = ((2)/(5) x^2 sqrt(x))_1^4

Substituindo os limites de integração:

L = (2)/(5) (4^2 sqrt(4) - 1^2 sqrt(1)) = (2)/(5) ( 16 * 2 - 1 )

Portanto, o comprimento da curva é

L = (62)/(5)

Resposta

L = (62)/(5)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Faça o seguinte: a ) Estabeleça uma integral para o comprimento da curva. b ) Trace a curva para ver como ela é c ) Use seu programa gráfico ou programa para calcular integrais e determine o comprimen
Faça o seguinte: a ) Estabeleça uma integral para o comprimento da curva. b ) Trace a curva para ver como ela é c ) Use seu programa gráfico ou programa para calcular integrais e determine o comprimen
Faça o seguinte: a ) Estabeleça uma integral para o comprimento da curva. b ) Trace a curva para ver como ela é c ) Use seu programa gráfico ou programa para calcular integrais e determine o comprimen
Faça o seguinte: a ) Estabeleça uma integral para o comprimento da curva. b ) Trace a curva para ver como ela é c ) Use seu programa gráfico ou programa para calcular integrais e determine o comprimen
Faça o seguinte: a ) Estabeleça uma integral para o comprimento da curva. b ) Trace a curva para ver como ela é c ) Use seu programa gráfico ou programa para calcular integrais e determine o comprimen