Enunciado

A Equação Adjunta. Se uma equação linear homogênea de segunda ordem não for exata, ela pode se tornar exata multiplicando-se por um fator integrante apropriado μ x . Precisamos, então, que μ x seja tal que

μ x P x y ' ' + μ x Q x y ' + μ x R x y = 0

possa ser escrita na formar

μ x P x y ' ' + f x y ' = 0

Igualando os coeficientes nessasduas equações e eliminando f x , mostre que a função μ precisa satisfazer

P μ ' ' + 2 P ' - Q μ ' + P ' ' - Q ' + R μ = 0

Essa equação é conhecida como adjunta da equação original e é importante na teoria avançada de equações diferenciais. Em geral, o problema de resolver a equação diferencial adjunta é tão difícil quanto o de resolver a equação original, de modo que só é possível encontrar um fator integrante para uma equação de segunda ordem de vez em quando.

Passo 1

Para resolvermos, vamos partir da seguinte equação:

μ x P x y ' ' + f x y ' = 0

Vamos manipula-la e então aplicar a sugestão do enunciado, na qual nos diz para em algum momento eliminarmos f x , para então chegarmos em nossa solução.

Passo 2

Bom, vamos lá! Vamos começar abrindo toda essa nossa expressão e comparando com a expressão original.

μ x P x y ' ' + f x y ' = μ x P ' x y ' + μ x P x y ' ' + μ ' x P x y ' + f ' x y + f x y ' = 0

Se compararmos com

μ x P x y ' ' + μ x Q x y ' + μ x R x y = 0

igualando as duas equações, já que precisam ser as mesmas, vamos ter que:

μ x P ' x y ' + μ x P x y ' ' + μ ' x P x y ' + f ' x y + f x y ' = μ x P x y ' ' + μ x Q x y ' + μ x R x y

μ x P ' x y ' + μ ' x P x y ' + f ' x y + f x y ' = μ x Q x y ' + μ x R x y

P ' x ⋅ μ x - Q x ⋅ μ x + P x ⋅ μ ' x + f x ⋅ y ' + f ' x - μ x ⋅ R x y = 0

Assim, chegamos que a única maneira dessa relação ser válida é se

f ' x = μ x ⋅ R x

e

f x = Q x - P ' x ⋅ μ x - P x ⋅ μ ' x

Derivando essa nossa ultima relação, vamos ter que:

f ' x = Q ' x ⋅ μ x + Q x ⋅ μ ' x - P ' ' x ⋅ μ x - P ' x ⋅ μ ' x - P ' x ⋅ μ ' x - P x ⋅ μ ' ' x  

f ' x = Q ' x - P ' ' x ⋅ μ x + Q x - 2 ⋅ P ' x ⋅ μ ' x - P x ⋅ μ ' ' x

Igualando com a relação anterior, vamos chegar em:

Q ' x - P ' ' x ⋅ μ x + Q x - 2 ⋅ P ' x ⋅ μ ' x - P x ⋅ μ ' ' x = μ x ⋅ R x

P x ⋅ μ ' ' x + 2 ⋅ P ' x - Q x ⋅ μ ' x + P ' ' x - Q ' x + R x ⋅ μ = 0

Como queríamos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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