Enunciado

Equações Exatas. A equação

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

é dita exata se puder ser escrita na forma

P x y ' ' + f x y ' = 0

em que f x pode ser determinada em função de P x ,   Q x e R x . Essa última equação pode ser integrada uma vez imediatamente, resultando em uma equação de primeira ordem para y que pode ser resolvida como na Seção 2.1. Igualando os coeficientes das equações precedentes e eliminando f x , mostre que uma condição necessária para que a equação seja exata é que

P ' ' x - Q ' x + R x = 0 .

Pode-se mostrar que essa condição também é suficiente.

Passo 1

Para resolvermos, vamos partir da seguinte equação:

P x y ' ' + f x y ' = 0

Vamos manipula-la e então aplicar a sugestão do enunciado, na qual nos diz para em algum momento eliminarmos f x , para então chegarmos em nossa solução.

Passo 2

Bom, vamos lá! Vamos começar abrindo toda essa nossa expressão e comparando com a expressão original.

P x y ' ' + f x y ' = P ' x y ' + P x y ' ' + f ' x y + f x y ' = 0

Se compararmos com

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

igualando as duas equações, já que precisam ser as mesmas, vamos ter que:

P ' x y ' + P x y ' ' + f ' x y + f x y ' = P x y ' ' + Q x y ' + R x y

P ' x y ' + f ' x y + f x y ' = Q x y ' + R x y

P ' x - Q x + f x y ' + f ' x - R x y = 0

Assim, chegamos que a única maneira dessa relação ser válida é se

f ' x = R x

e

f x = Q x - P ' x

Derivando essa nossa ultima relação, vamos ter que:

f ' x = Q ' x - P ' ' x

Igualando com a relação anterior, vamos chegar em:

Q ' x - P ' ' x = R x

P ' ' x - Q ' x + R x = 0

Como queríamos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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