Enunciado

A equação de demanda por uma barra de chocolate é:

p x + x + 20 p = 3000

Onde 1000x barras são demandadas por semana quando p centavos é o preço por unidade. Se o preço atual de cada barra for 49 centavos e estiver aumentando à taxa de 0,2 centavos por semana, ache a taxa de variação na demanda.

Passo 1

Bom, como é pedida a taxa de variação, precisaremos envolver a derivada x com relação ao preço por unidade, ou seja, d x d p . Como a taxa de variação de preço está por semana e a demanda também está por semana, precisaremos relacionar elas com a taxa de barras.

Passo 2

Primeiro faremos a taxa de variação por semana, chamaremos o número de semanas de t e faremos a derivada da demanda com relação a t:

d d t 1000 x = 1000 d x d t

Passo 3

Agora vamos isolar o x para escrevermos a taxa de variação das barras com relação ao preço:

p x + x + 20 p = 3000

p x + x = 3000 - 20 p

x p + 1 = 3000 - 20 p

x = 3000 - 20 p p + 1

Fazendo a derivada para encontrar a taxa:

d x d p = d d p 3000 - 20 p p + 1

Aplicando a Regra do Quociente:

d x d p = d d p 3000 - 20 p p + 1 - 3000 - 20 p d d p p + 1 p + 1 2

Resolvendo as derivadas que apareceram, ficamos com:

d x d p = - 20 p + 1 - 3000 - 20 p p + 1 2

Passo 4

Agora precisamos calcular a taxa do número de barras com relação ao número de semanas, então pela Regra da Cadeia:

d x d t = d x d p d p d t = - 20 p + 1 - 3000 - 20 p p + 1 2 d p d t

Como o enunciado nos dá o preço atual de cada barra p = 49 e a taxa de aumento por semana d p d t = 0,2 , poderemos substituir na equação acima:

d x d t = - 20 49 + 1 - 3000 - 20 . 49 49 + 1 2 0,2 = - 3020 50 2 . 0,2

Mas pelo Passo 1, nós sabemos a taxa por semana de barras:

1000 d x d t = 1000 - 3020 50 2 . 0,2 = - 241,6

Então a demanda está diminuindo em aproximadamente 242 barras por semana em relação ao preço atual.

Resposta

- 241 , 6 barras/semana

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