Enunciado

Seja

h x = x - 1 sgn ⁡ x

Lembrando que sgn ⁡ x é definido como

sgn ⁡ x = - 1 s e x < 0 0 s e x = 0 1 s e x > 0

Ache, se existirem:

a ) lim x → 0 + ⁡ h x

b ) lim x → 0 - ⁡ h x

c ) lim x → 0 ⁡ h x

Passo 1

Vamos começar fazendo um esboço de h x . Para isso temos que entender um pouquinho só como é essa nossa h x

O enunciado disse que

h x = x - 1 sgn ⁡ x

Pegando a definição dessa função dois sgn ⁡ x , temos que fazer x - 1 vezes o que ele definiu como sgn ⁡ x

Então, h x vai ser

h x = x - 1 - 1 s e x < 0 x - 1 0 s e x = 0 x - 1 1 s e x > 0

h x = - x + 1 s e x < 0 0 s e x = 0 x - 1 s e x > 0

Para fazer esse gráfico, devemos fazer a reta - x + 1 até x = 0 , e colocar aquela bola aberta no final dela.

Depois, fazemos a reta x - 1 a partir de x = 0 , colocando também a bola aberta em x = 0

E por fim, colocamos uma bola fechada no ponto 0,0 , porque quando x = 0 a função vai ser 0

Passo 2

Letra a )

Agora vamos aos limites que ele pediu

lim x → 0 + ⁡ h x

Aqui, temos que ver o comportamento da função quando x se aproxima de 0 pela direita. Que é se aproximar de 0 por valores maiores que 0 .

Olhando o gráfico, chegando perto de 0 pela direita, a nossa função se aproxima de - 1 .

Mesmo que ela de fato seja 0 em x = 0 , a reta azul chega muuuuuito perto de - 1 na verdade.

lim x → 0 + ⁡ h x = - 1

Passo 3

Letra b )

Agora o outro

lim x → 0 - ⁡ h x

Aqui, temos que ver o comportamento da função quando x se aproxima de 0 pela esquerda. Que é se aproximar de 0 por valores menores que 0 .

Olhando o gráfico, chegando perto de 0 pela esquerda, a nossa função se aproxima de 1 .

Mesmo que ela de fato seja 0 em x = 0 , a reta azul chega muuuuuito perto de 1 na verdade.

lim x → 0 - ⁡ h x = 1

Passo 4

Letra c )

lim x → 0 ⁡ h x

Para o limite que ele pediu, temos que comparar os limites laterais.

Se eles forem iguais, o limite em 0 vai existir e será esse valor. Se eles forem diferentes o limite não existe.

Pelas letras a e b , os dois limites laterais vão ser - 1 e 1 , respectivamente.

Eles são diferentes, então o limite não existe.

Resposta

a )

lim x → 0 + ⁡ h x = - 1

b )

lim x → 0 - ⁡ h x = 1

c )

Não existe o limite

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A afirmação“ lim x → p ⁺ ⁡ f x = lim x → p ⁻ ⁡ f x ⟹ ⁺ ⁻ f contínua em p ”é falsa ou verdadeira? Justifique.
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique. lim x → 1 ⁺ ⁡ x - 1 x - 1 ⁺
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique. lim x → 2 ⁻ ⁡ x 2 - 2 x + 1 x - 1 ⁻
Dada a função f x = x 2 - 3 x + 2 x - 1 , verifique que lim x → 1 ⁺ ⁡ f x = lim x → 1 ⁻ ⁡ f x ⁺ ⁻ . Pergunta-se: f é contínua em 1 ? Por quê?
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique. lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1