Enunciado

A Equação de Hermite. A equação:

y ' ' - 2 x y ' + λ y = 0 ,   - ∞ < x < ∞ ,

em que λ é constante, é conhecida como a equação de Hermite. Essa é uma equação importante

em física matemática.

(a) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma de duas soluções em torno de x = 0 e

mostre que elas formam um conjunto fundamental de soluções.

(b) Note que, se λ for um inteiro par não negativo, então uma ou outra das soluções em série

termina e torna-se um polinômio. Encontre as soluções polinomiais para λ = 0, 2, 4, 6, 8 e 10.

Note que cada polinômio é determinado a menos de uma constante multiplicativa.

(c) O polinômio de Hermite H n ( x ) é definido como a solução polinomial da equação de

Hermite com λ = 2n para a qual o coeficiente de x n é 2 n . Encontre H 0 ( x ) , . . . , H 5 ( x ) .

Passo 1

Beleza! Para encontrar os quatro primeiros termos em cada uma das soluções em torno de x = 0, nós vamos procurar por uma solução em torno de zero no formato de uma série de potência, então, teremos:

y = ∑ n = 0 + ∞ a n x n

Então, derivando essa expressão para obter y ' e y ' ' , temos:

y ' = ∑ n = 0 + ∞ n + 1 a n + 1 x n

y ' ' = ∑ n = 0 + ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n

Agora vamos substituir esses termos na equação fornecida no enunciado, obtendo:

y ' ' - 2 x y ' + λ y = 0

∑ n = 0 + ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n - 2 x ∑ n = 0 + ∞ n + 1 a n + 1 x n + λ ∑ n = 0 + ∞ a n x n = 0

E, rearranjando os termos, chegamos em:

∑ n = 0 + ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n - 2 ∑ n = 0 + ∞ n + 1 a n + 1 x n + 1 + λ ∑ n = 0 + ∞ a n x n = 0

∑ n = 0 + ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n - 2 ∑ n = 1 + ∞ n a n x n + λ ∑ n = 0 + ∞ a n x n = 0

Agora, reescrevendo para que todos os somatórios começem de n = 1 , temos:

2 a 2 ∑ n = 1 + ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n - 2 ∑ n = 1 + ∞ n a n x n + λ a 0 + λ ∑ n = 1 + ∞ a n x n = 0

E, agora, agrupando os somatórios, temos:

2 a 2 + λ a 0 + ∑ n = 1 + ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 + λ - 2 n a n x n = 0

Passo 2

Agora, como a equação obtida é igual a zero, temos que os termos dentro e fora do somatório devem ser iguais a zero, dessa forma, obtemos um sistema com duas equações, sendo elas:

2 a 2 + λ a 0 = 0 n + 2 n + 1 a n + 2 + λ - 2 n a n = 0

Então, da segunda equação, temos:

n + 2 n + 1 a n + 2 + λ - 2 n a n = 0 → n + 2 n + 1 a n + 2 = - λ - 2 n a n

a n + 2 = - λ - 2 n a n n + 2 n + 1

Essa é a fórmula de recorrência. Agora analisando a primeira equação do nosso sistema, temos:

2 a 2 + λ a 0 = 0 → a 2 = - λ a 0 2 = - λ a 0 2 !

Podemos observar, que substituindo n = 0 na fórmula de recorrência, obtemos exatamente esse valor para a 2 . E, então, os primeiros termos serão:

a 2 = - λ a 0 2 !

a 3 = - λ - 2 1 a 1 1 + 2 1 + 1 = - λ - 2 a 1 3 2 → a 3 = - λ - 2 a 1 3 !

a 4 = - λ - 2 2 a 2 2 + 2 2 + 1 = - λ - 4 4 3 - λ a 0 2 ! → a 4 = λ λ - 4 a 0 4 !

a 5 = - λ - 2 3 a 3 3 + 2 3 + 1 = - λ - 6 5 4 - - λ - 2 a 1 3 ! → a 5 = λ - 6 λ - 2 a 1 5 !

a 6 = - λ - 2 4 a 4 4 + 2 4 + 1 = - - λ - 8 6 5 λ λ - 4 a 0 4 ! → a 6 = - λ λ - 8 λ - 4 a 0 6 !

a 7 = - λ - 2 5 a 5 5 + 2 5 + 1 = - λ - 10 7 6 λ - 6 λ - 2 a 1 5 ! → a 7 = - λ - 10 λ - 6 λ - 2 a 1 7 !

Observe que deixamos tudo em função de a 0 e a 1 , sempre substituindo os termos já conhecidos.

Passo 3

Então, escrevendo a solução, teremos:

y x = a 0 + a 1 x - λ a 0 2 ! x 2 - λ - 2 a 1 3 ! x 3 + λ λ - 4 a 0 4 ! x 4 + λ - 6 λ - 2 a 1 5 ! x 5 - λ λ - 8 λ - 4 a 0 6 ! x 6 - λ - 10 λ - 6 λ - 2 a 1 7 ! x 7

Então, colocando os termos a 0 e a 1 em evidência, temos:

y x = a 0 1 - λ x 2 2 ! + λ λ - 4 x 4 4 ! - λ λ - 8 λ - 4 x 6 6 ! + … + a 1 x - λ - 2 x 3 3 ! + λ - 6 λ - 2 x 5 5 ! - λ - 10 λ - 6 λ - 2 x 7 7 ! + …

Então, teremos:

y x = y 1 x a 0 + y 2 x a 1

Em que:

y 1 x = 1 - λ x 2 2 ! + λ λ - 4 x 4 4 ! - λ λ - 8 λ - 4 x 6 6 ! + …

y 2 x = x - λ - 2 x 3 3 ! + λ - 6 λ - 2 x 5 5 ! - λ - 10 λ - 6 λ - 2 x 7 7 ! + …

Passo 4

Agora, para mostrar que elas formam um conjunto fundamental de soluções, vamos calcular o Wronskiano de y 1 e y 2 em torno de x = 0 . Sabemos que o Wronskiano é dado por:

W y 1 , y 2 0 = y 1 ( 0 ) y 2 ( 0 ) y 1 ' ( 0 ) y 2 ' ( 0 )

Então, precismaos calcular as derivadas de y 1 e y 2 . Dessa forma, teremos:

y 1 ' x = - 2 λ x 2 ! + 4 λ λ - 4 x 3 4 ! - 6 λ λ - 4 λ - 8 x 5 6 ! + …  

y 1 ' x = - λ x + λ λ - 4 x 3 3 ! - λ λ - 4 λ - 8 x 5 5 ! + …

E, para y 2 ' temos:

y 2 ' x = 1 - 3 λ - 2 x 3 3 ! + 5 λ - 2 λ - 6 x 4 5 ! - 7 λ - 2 λ - 6 λ - 10 x 6 7 ! + …

y 2 ' x = 1 - λ - 2 x 3 2 ! + λ - 2 λ - 6 x 4 4 ! - λ - 2 λ - 6 λ - 10 x 6 6 ! + …

Agora, calculando os valores das funções ao redor de 0, temos:

y 1 0 = 1 - λ ( 0 ) 2 2 ! + λ λ - 4 ( 0 ) 4 4 ! - λ λ - 8 λ - 4 ( 0 ) 6 6 ! + … → y 1 0 = 1

y 1 ' 0 = - λ 0 + λ λ - 4 0 3 3 ! - λ λ - 4 λ - 8 0 5 5 ! + … → y 1 ' 0 = 0

y 2 0 = 0 - λ - 2 0 3 3 ! + λ - 6 λ - 2 0 5 5 ! - λ - 10 λ - 6 λ - 2 0 7 7 ! + …

y 2 0 = 0

y 2 ' 0 = 1 - λ - 2 ( 0 ) 3 2 ! + λ - 2 λ - 6 ( 0 ) 4 4 ! - λ - 2 λ - 6 λ - 10 ( 0 ) 6 6 ! + …

y 2 ' 0 = 1

Então, o Wronskiano será:

W y 1 , y 2 0 = 1 0 0 1 = 1

Então, como o Wronskiano é diferente de zero, y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções.

Passo 5

Agora para a letra (b), vamos substituir os valores de λ para as soluções y 1 e y 2 , então, temos:

λ = 0 → y 1 x = 1 - ( 0 ) x 2 2 ! + ( 0 ) 0 - 4 ( 0 ) 4 4 ! - ( 0 ) 0 - 8 0 - 4 ( 0 ) 6 6 ! + … → y 1 = 1

λ = 2 → y 2 x = x - 2 - 2 x 3 3 ! + 2 - 6 2 - 2 x 5 5 ! - 2 - 10 2 - 6 2 - 2 x 7 7 ! + …

λ = 2 → y 2 = x

λ = 4 → y 1 x = 1 - 4 x 2 2 ! + 4 4 - 4 x 4 4 ! - 4 4 - 8 4 - 4 x 6 6 ! + …

λ = 4 → y 1 = 1 - 4 x 2 2 !

λ = 6 → y 2 x = x - 6 - 2 x 3 3 ! + 6 - 6 6 - 2 x 5 5 ! - 6 - 10 6 - 6 6 - 2 x 7 7 ! + …

λ = 6 → y 2 = x - 4 x 3 3 !

λ = 8 → y 1 x = 1 - 8 x 2 2 ! + 8 8 - 4 x 4 4 ! - 8 8 - 8 8 - 4 x 6 6 ! + …

λ = 8 → y 1 = 1 - 4 x 2 + 4 x 4 3

λ = 10 → y 2 x = x - 10 - 2 x 3 3 ! + 10 - 6 10 - 2 x 5 5 ! - 10 - 10 10 - 6 10 - 2 x 7 7 ! + …

λ = 10 → y 2 = x - 4 x 3 3 + 4 x 5 15

Então, as soluções polinomiais são:

S = 1 , x , 1 - 2 x 2 , x - 2 x 3 3 , 1 - 4 x 2 + 4 x 4 3 , x - 4 x 3 3 + 4 x 5 15

Passo 6

Agora, para a letra (c), precisamos encontrar os coeficientes a n , então, precisamos encontrar uma expressão para eles. Dos termos do passo 2, podemos escrever então:

a 2 k = - 1 k . 2 n … 2 n - 4 k + 8 2 n - 4 k + 4 2 k !

a 2 k + 1 = - 1 k . 2 n - 2 … 2 n - 4 k + 6 2 n - 4 k + 2 2 k + 1 !

A partir de k = 1 até k = n / 2 . Então, podemos resumi-lás como:

a 2 k = - 1 k . 4 k k ! 2 k !

a 2 k + 1 = - 1 k 4 k k ! 2 k + 1 !

E, como o enunciado nos disse que temos o coeficiente de x n sendo 2 n . Então, a equação para o polinômio de Hermite se torna:

H n x = - 1 k 2 k ! 4 k k ! 2 n y 1 x - 1 k 2 k + 1 ! 4 k k ! 2 n y 2 x

No entanto, sabendo que n = 2 k , então, temos:

H n x = - 1 k 2 k ! 4 k k ! 2 2 k y 1 x = - 1 k 2 k ! 4 k k ! 4 k y 1 x - 1 k 2 k + 1 ! 4 k k ! 2 2 k y 2 x = - 1 k ( 2 ) 2 k + 1 ! 4 k k ! 4 k y 2 x

H n x = - 1 k 2 k ! k ! y 1 x ,   n = 2 k - 1 k ( 2 ) 2 k + 1 ! k ! y 2 x ,   n = 2 k + 1

Passo 7

Então, calculando os termos, teremos:

k = 1 → H 2 x = - 1 1 2 ! 1 ! 1 - 2 x 2 = - 2 1 - 2 x 2 → H 2 x = 4 x 2 - 2

k = 1 → H 3 x = - 1 1 ( 2 ) 2 + 1 ! 1 ! x - 2 x 3 3 = - 12 x - 2 x 3 3 → H 3 x = - 12 x + 8 x 3

k = 2 → H 4 x = - 1 2 4 ! 2 ! 1 - 4 x 2 + 4 x 4 3 = 12 1 - 4 x 2 + 4 x 4 3

H 4 x = 12 - 48 x 2 + 12

k = 2 → H 5 x = - 1 2 2 4 + 1 ! 2 ! x - 4 x 3 3 + 4 x 5 15 = 120 x - 4 x 3 3 + 4 x 5 15

H 5 x = 120 x - 4 x 3 3 + 4 x 5 15

Os coeficientes 0 e 1 serão dados através da relação fornecida no enunciado, onde temos que a n é 2 n , dessa forma, temos:

a 0 = 2 0 → a 0 = 1

a 1 = 2 1 → a 1 = 2

Então, os dois primeiros polinômios serão:

H 0 x = 1 1 → H 0 x = 1

H 1 x = 2 x → H 1 x = 2 x

Resposta

y 1 x = 1 - λ x 2 2 ! + λ λ - 4 x 4 4 ! - λ λ - 8 λ - 4 x 6 6 ! + …

y 2 x = x - λ - 2 x 3 3 ! + λ - 6 λ - 2 x 5 5 ! - λ - 10 λ - 6 λ - 2 x 7 7 ! + …

S = 1 , x , 1 - 2 x 2 , x - 2 x 3 3 , 1 - 4 x 2 + 4 x 4 3 , x - 4 x 3 3 + 4 x 5 15

H 0 x = 1

H 1 x = 2 x

H 2 x = 4 x 2 - 2

H 3 x = - 12 x + 8 x 3

H 4 x = 12 - 48 x 2 + 12

H 5 x = 120 x - 4 x 3 3 + 4 x 5 15

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