1 - dx/dt = -x, dy/dt = -2y; x(0) = 4, y(0) = 2.

Passo 1

As equações dadas são:

d x d t = - x   e   d y d t = - 2 y

Considere d x d t = - x … . .   ( 1 )

Então,

1 x d x = - d t

Integrando ambos os lados,

ln ⁡ x = - t + c

Ou x = c 1 e - t

Onde c 1  é uma constante arbitrária de integração. 

Forme a condição inicial fornecida.

x 0 = 4

Então, c 1 = 4

Portanto, a solução da equação (1) é  x = 4 e - t

Passo 2

Considere d y d t = - 2 y … . .   ( 2 )

Então,

1 y d y = - 2 d t

Integrando ambos os lados,

ln ⁡ y = - 2 t + c

Ou y = c 2 e - 2 t

Onde c 2  é uma constante arbitrária de integração. 

Forme a condição inicial fornecida.

y 0 = 2

Então, c 2 = 2

Portanto, a solução da equação (2) é  y = 2 e - 2 t

Passo 3

Agora,

d y d x = d y d t d x d t = 2 y x

Ou,

1 y d y = 2 d x x

Integrando ambos os lados,

ln ⁡ y = 2 ln ⁡ x + c

Ou, y = x 2 c 3 .

Inicialmente x = 4 , y = 2 .

Então 2 = 16 c 3

c 3 = 1 8

Portanto, as soluções necessárias são:  x 2 = 8 y

Então a trajetória desse sistema é uma parábola ascendente que passa pela origem e tem foco 2.

Passo 4

A trajetória é dada como:

Para determinar a direção do movimento ao longo da trajetória, vemos que, para condições iniciais positivas, x aumenta à medida que y aumenta.

Resposta

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