Enunciado

1 - (d x)/(d t) = - x , (d y)/(d t) = - 2 y ; x (0) = 4 , y (0) = 2 .

Passo 1

As equações dadas são:

(d x)/(d t) = - x e (d y)/(d t) = - 2 y

Considere (d x)/(d t) = - x ... . . ( 1 )

Então,

(1)/(x) d x = - d t

Integrando ambos os lados,

ln x = - t + c

Ou x = c_1 e^(- t)

Onde c_1  é uma constante arbitrária de integração. 

Forme a condição inicial fornecida.

x (0) = 4

Então, c_1 = 4

Portanto, a solução da equação (1) é  x = 4 e^(- t)

Passo 2

Considere (d y)/(d t) = - 2 y ... . . ( 2 )

Então,

(1)/(y) d y = - 2 d t

Integrando ambos os lados,

ln y = - 2 t + c

Ou y = c_2 e^(- 2 t)

Onde c_2  é uma constante arbitrária de integração. 

Forme a condição inicial fornecida.

y (0) = 2

Então, c_2 = 2

Portanto, a solução da equação (2) é  y = 2 e^(- 2 t)

Passo 3

Agora,

(d y)/(d x) = ((d y)/(d t))/((d x)/(d t)) = (2 y)/(x)

Ou,

(1)/(y d y) = (2 d x)/(x)

Integrando ambos os lados,

ln y = 2 ln x + c

Ou, y = x^2 c_3 .

Inicialmente x = 4 , y = 2 .

Então 2 = 16 c_3

c_3 = (1)/(8)

Portanto, as soluções necessárias são:  x^2 = 8 y

Então a trajetória desse sistema é uma parábola ascendente que passa pela origem e tem foco 2.

Passo 4

A trajetória é dada como:

Para determinar a direção do movimento ao longo da trajetória, vemos que, para condições iniciais positivas, x aumenta à medida que y aumenta.

Resposta

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Prove que, se uma trajetória começa em um ponto não crítico do sistema: d x d t =F x ,y , d y d t =G x ,y então não pode atingir um ponto crítico ( x 0 ,y 0 ) em um intervalo de tempo finito.Sugestão:
2 - (d x)/(d t) = - x , (d y)/(d t) = 2 y ; x (0) = 4 , y (0) = 2 e x (0) = 4 , y (0) = 0 .
5 - d x d t = x - x y , d y d t = y + 2 x y
9 - d x d t = y 2 - x - y , d y d t = - x - y - 2 x y