Enunciado

Uma equação linear de segunda ordem P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0 é dita autoadjunta se sua adjunta for igual à equação original. Mostre que uma condição necessária para esta equação ser autoadjunta é que P ' x = Q x . Determine se cada uma das equações nos Problemas de 47 a 49 é autoadjunta.

Passo 1

Para resolvermos, vamos calcular uma vez a equação adjunta e depois aplicar a condição apontada no enunciado, na que P ' x = Q x . No final, vamos comparar a adjunta e nossa original para verificarmos se são as mesmas.

Passo 2

Bom, vamos lá! Como já dito no passo 1, vamos calcular a adjunta da nossa original. Utilizando o resultado do exercício 46, temos que a equação adjunta é dada por:

P ⋅ μ ' ' + 2 P ' - Q ⋅ μ ' + P ' ' - Q + R ⋅ μ = 0

Assim, identificando os termos da nossa equação original, teremos que

P x = P

Q x = Q

R x = R

que nos dá nossa adjunta. Comparando com a original, temos que para ambas as equações serem iguais precisamos satisfazer essas duas condições:

2 P ' - Q = Q

P ' ' - Q + R = R

Se resolvermos nossa primeira equação, vamos chegar exatamente no que o enunciado nos diz.

2 P ' = 2 Q → P ' = Q

Se isso for verdade, teremos por consequência que

P ' ' = Q '

e assim ambas as condições são satisfeitas, provando que o único jeito de ser autoadjunta é se P ' x = Q x .

Passo 3

Vamos analisar cada equação. Temos que a primeira é dada por:

x 2 y ' ' + x y ' + ( x 2 - v 2 ) y = 0

Onde 2 ⋅ x = P ' x ≠ Q x = x , assim essa equação não é autoadjunta. Para nossa segunda equação, temos:

1 - x 2 y ' ' - 2 x y ' + α ( α + 1 ) y = 0

Onde - 2 ⋅ x = P x = Q x = - 2 ⋅ x , sendo essa nossa primeira equação autoadjunta. Nossa terceira e ultima equação é a seguinte.

y ' ' - x y = 0

Nessa temos que 1 = P x ≠ Q x = 0 . Ou seja, não é autoadjunta.

Resposta

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - v 2 y = 0 → n ã o   é   a u t o a d j u n t a

1 - x 2 y ' ' - 2 x y ' + α α + 1 y = 0 → a u t o a d j u n t a

y ' ' - x y = 0 → n ã o   é   a u t o a d j u n t a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 15-22, determine se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes em - ∞ ,∞ . f 1 x = 1 + x ;f 2 x = x ;f 3 x = x 2
Nos problemas 23-28, mostre, calculando o Wronskiano, que as funções dadas são linearmente independentes no intervalo indicado. tg ⁡ x ,c ot ⁡ x ; ( 0 , π 2 )