Enunciado

Nos problemas 23-28, mostre, calculando o Wronskiano, que as funções dadas são linearmente independentes no intervalo indicado.

tg ⁡ x ,   c ot ⁡ x ;     ( 0 , π 2 )

Passo 1

Olá, tudo bem?

Bom, para as funções serem LI, o Wronskiano tem que ser diferente de zero em pelo menos um ponto no intervalo.

O Wronskiano (pra duas funções) é esse determinante aqui ó:

W =   f 1 f 2 f 1 ' f 2 '  

Vamos calcular no nosso caso então...

Passo 2

Substituindo as nossas funções e as derivadas delas:

W = tg ⁡ x cot ⁡ x s e c 2 x - csc 2 ⁡ x

= - tg ⁡ x   csc 2 ⁡ x - cot ⁡ x s e c 2 x

= - 2   s e c   x csc ⁡ x

Observe que em algum (vários) ponto dentro do intervalo de ( 0 , π 2 ) , temos que W ≠ 0 .

Como W ≠ 0 em pelo menos um ponto do intervalo, temos que as funções são linearmente independentes!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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