Enunciado

55. A equação y ’ ’ + y ’ - 2 y = s e n   x   é chamada equação diferencial, pois envolve a função desconhecida y e suas derivada y’ e y’’. Encontre as constantes A e B tal que sua função y = A   s e n   x   + B   c o s   x satisfaça essa equação.

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Nessa questão a gente precisa achar os valores de A e B para que a igualdade seja verdadeira, então para isso iremos encontrar quanto vale y ' ' e y ' para substituir na equação e assim podermos encontrar as constantes.

Passo 2

Derivando:

y ' = d d x A sen ⁡ x + B cos ⁡ x

A derivada da soma é a soma das deriadas:

y ' = d d x A sen ⁡ x + d d x B cos ⁡ x

Derivada so seno é o cosseno e a derivada do cosseno é o menos seno:

y ' = A cos ⁡ x + - B sen ⁡ x

Beleza, agora vamos derivar mais uma vez para descobrirmos o valor de y ' ' :

y ' ' = d d x A cos ⁡ x - B sen ⁡ x

y ' ' = d d x A cos ⁡ x - d d x B sen ⁡ x

y ' ' = - A sen ⁡ x - B cos ⁡ x

Passo 3

Pronto, agora temos tudo o que precisamos para substituir na equação do enunciado:

y ' ' + y ' - 2 y = sen ⁡ x

- A sen ⁡ x - B cos ⁡ x + A cos ⁡ x - B sen ⁡ x - 2 A sen ⁡ x + B cos ⁡ x = sen ⁡ x

Colocando o seno e o cosseno em evidência:

- A - B - 2 A sen ⁡ x + - B + A - 2 B cos ⁡ x = sen ⁡ x

- 3 A - B sen ⁡ x + A - 3 B cos ⁡ x = sen ⁡ x

Então para essa igualdade ser verdadeira, vamos igualar os coeficientes do seno e do cosseno dos 2 lados da equação:

A - 3 B = 0

- 3 A - B = 1

Agora temos um sistems. Da primeira equação:

A = 3 B

Como sabemos que A = 3 B podemos escrever:

- 3 ( 3 B ) - B = 1

- 10 B = 1

B = - 1 10

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A = - 3 10

Resposta

B = - 1 10

A = - 3 10

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