Enunciado

21-31 Encontre a derivada da função dada usando a definição. Estabeleça os domínios da função e da derivada.

23 .   f x = 1 - 3 x 2

Passo 1

Beleza meu parceiro? Pronto para mais uma resolução?

Então, aqui nos é dada uma função:

f x = 1 - 3 x 2

E nos é pedido para encontrarmos a sua derivada utilizando a definição de derivada. Para isso iremos utilizar a equação:

f ´ x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Devemos então resolver esse limite para encontrarmos a derivada.

Em relação ao domínio da função e da sua derivada, o domínio é o conjunto de valores de x que nossa função aceita. Iremos analisar as funções e descobrir quais valores são esses a partir de possíveis restrições da nossa função. Algumas restrições são, não poder ter zero no denominador, não poder ter números negativos dentro de raízes pares, etc.

Passo 2

Colocarei aqui a equação para calcular a derivada de f ( x ) .

f ´ x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Vamos anotar aqui os valores que estão na expressão da derivada!

f x + h = 1 - 3 x + h 2  

Realizando o produto notável:

f x + h = 1 - 3 x 2 + 2 x h + h 2

Agora realizando a distributiva no último termo:

f ( x + h ) = 1 - 3 x 2 - 6 x h - 3 h 2

f x = 1 - 3 x 2

Substituindo tudo dentro da derivada, temos:

f ´ x = lim h → 0 ⁡ 1 - 3 x 2 - 6 x h - 3 h 2 - 1 - 3 x 2 h

Realizando o jogo de sinais do último termo:

f ´ x = lim h → 0 ⁡ 1 - 3 x 2 - 6 x h - 3 h 2 - 1 + 3 x 2 h

Realizando as simplificações dos termos semelhantes:

f ´ x = l i m h → 0 - 6 x h - 3 h 2 h

Botando o h em evidência, temos:

f ´ x = l i m h → 0 h ( - 6 x - 3 h ) h

Cortando h de cima com h de baixo, temos:

f ´ x = l i m h → 0 - 6 x - 3 h

f ´ x = - 6 x

Passo 3

Em relação ao domínio, tanto em f ( x ) quanto em f ' ( x ) não temos restrições alguma, sendo assim, ambos têm como o domínio o conjunto dos números reais.

D f x = R

D f ' x = R

Resposta

f ´ x = - 6 x

D f x = R

D f ' x = R

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