Enunciado

Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.

f x = x e - x                           ;       [ 0,2 ]

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui iremos encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função dada.

Primeiro, precisamos entender o que é um valor de máximo e mínimo absolutos. É o seguinte: um valor máximo absoluto é quando um número f ( c ) é maior que f ( x ) . Da mesma forma, um valor mínimo absoluto é quando f ( c ) é menor que f ( x ) . Belezinha??

E a forma de encontrar esses máximos e mínimos é derivando a função e igualando a zero.

E o segundo passo é achar o valor da função pra esses pontos e nos extremos do intervalo.

Vamos lá resolver!!

Passo 2

Usando a regra do produto, pois a função é um produto:

f ' x = x ∙ ( - e - x ) + e - x ( 1 )

f ' x = e - x ( 1 - x )

Como o e - x nunca vai ser zero, então analisamos o ( 1 - x ) , temos:

x = 1

Passo 3

Agora vamos achar quanto vale a função nesses pontos de derivada nula e nos extremos do intervalo.

f 0 = 0 ∙ e - 0 = 0

f 1 = 1 ∙ e - 1 = 1 e

f 2 = 2 ∙ e - 2 = 2 e 2

Com isso, temos que o nosso valor máximo absoluto é f 1 = 1 e e o nosso mínimo absoluto é f 0 = 0 . Showw né?

Resposta

Valor máximo absoluto: f 1 = 1 e , valor mínimo absoluto: f 0 = 0 .

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