Equações de Euler.

Uma equação da forma

t^2 \* (d^2y/dt^2) + alpha \* t \* (dy/dt) + beta \* y = 0, t > 0

(ii)

em que alpha e beta são constantes reais, é chamada de equação de Euler.

(a) Seja x = ln t e calcule dy/dt e d^2y / dt^2 em termos de dy/dx e d^2y/dx^2 .

(b) Use os resultados do item (a) para transformar a Eq. (ii) em

(d^2y)/(dx^2) + (alpha-1)(dy/dx) + beta\*y = 0

(iii)

Note que a Eq. (iii) tem coeficientes constantes. Se y_1(x) e y_2(x) formarem um conjunto fundamental de soluções da Eq. (iii), então y_1(ln(t)) e Y_2(ln(t)) formarão um conjunto fundamental de soluções da Eq. (ii).

t^2 \* y'' + 3 \* t \* y' + 1,25 \* y = 0

Passo 1

A primeira coisa que a questão pede é pra colocar a expressão no formato da equação de Euler então teremos que identificar 2 termos, o α e o β . O α é o que acompanha y '   (que é a mesma coisa que d y / d t só a notação que é diferente), e o β é o termo que acompanha y (é o termo que não está derivado). Veja:

t 2 y ' ' + 3 t y ' + 1,25 y = 0

α = 3 ,     β = 1,25

Substituindo na equação de Euler:

y ' ' + ( 3 - 1 ) y + 1,25 y = 0

y ' ' + 2 y ' + 1,25 y = 0

Passo 2

Agora temos que encontrar as raízes dessa equação para encontrar a solução da equação característica, vamos fazer isso utilizando a fórmula de Bhaskara. Sendo assim, vamos colocar a equação no formato de equação do 2º grau, então substituímos t 2 por x 2 , t por x ignorando as derivadas, então vai ficar:

x 2 + 2 x + 1,25 = 0

Então para encontrar o usamos a fórmula:

Sendo: a = 1 ,   b = 2 ,   c = 1,25 .

Importante!!!

  • Se o resultado do ∆ > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a equação característica vai ser:
  • y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x

  • Se o resultado do ∆ = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a equação característica vai ser:
  • y = C 1 e r 1 x + C 2 t e r 2 x

  • Se o resultado do ∆ < 0 , teremos duas raízes complexas, e a equação característica vai ser:

y = e α   x   ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sen ⁡ β x )

Com isso em mãos vamos substituir na fórmula de Bhaskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

x = - 2 ± 2 2 - 4 . 1.1,25 2 . 1

x = - 2 ± 4 - 5 2

x = - 2 ± - 1 2

x = - 2 ± 1 i 2

x ' = - 2 + 1 i 2 = - 1 + 1 2 i ,     x ' ' = - 2 - 1 i 2 = - 1 - 1 2 i  

Passo 3

Como ∆ < 0 , a solução é:

y = e α   x   ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sen ⁡ β x )

Onde α é a parte real da raiz, e β é a parte imaginária.

Substituindo os valores das raízes:

y = e - 1   x   ( C 1 cos ⁡   1 2 x + C 2 sen ⁡ 1 2 x )

Poderíamos parar por aqui que estaria certo, mas como ainda dá pra manipular vamos deixar no formato do livro.

Lembrando-se de substituir x por ln ⁡ t , como pede a questão.

y = e - 1 ln ⁡ t   ( C 1 cos ⁡   1 2 ln ⁡ t + C 2 sen ⁡ 1 2 ln ⁡ t )

Pela propriedade do logaritmo:

log a ⁡ b = x   ↔ a x = b

log e ⁡ ln ⁡ x = x   ↔ e ln ⁡ x = x

Então fica:

y = t - 1 ( C 1 cos ⁡   1 2 ln ⁡ t + C 2 sen ⁡ 1 2 ln ⁡ t )

Resposta

E finalmente chegamos no formato pedido. S2

y = C 1 t - 1 cos ⁡   1 2 ln ⁡ t + C 2 t - 1 sen ⁡ 1 2 ln ⁡ t )

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