Enunciado

Use a substituição introduzida no Problema 34 da Seção 3.3 para resolver a equação diferencial dada.

Passo 1

Falaaaa... belezinha???

A substituição que ele fala pra fazer é a seguinte.

Se tivermos uma equação do tipo:

t 2 d 2 y d t 2 + α t d y d t + β = 0

Depois das substituições loucas todas da outra questão fica:

d 2 y d x 2 + α - 1 d y d x + β y = 0

Ahhh... e vamos achar no final soluções do tipo y x , mas precisamos lembrar que foi usado x = ln ⁡ t .

Então bora botar a mão na massa.

Passo 2

Para a equação do nosso problema:

t 2 y ' ' - 3 t y ' + 4 y = 0

Então α = - 3 e β = 4 , usando a substituição:

d 2 y d x 2 + - 3 - 1 d y d x + 4 y = 0

d 2 y d x 2 - 4 d y d x + 4 y = 0

Daí, passamos pra equação com r pra achar as raízes e tal:

r 2 - 4 r + 4 = 0

r = 2

A solução pra quando as duas raízes são iguais:

y x = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x

E, finalmente, voltando pra t :

y t = c 1 e 2 ln ⁡ t + c 2 ln ⁡ t e 2 ln ⁡ t

Agora é só dar uma arrumadinha:

y t = c 1 e ln ⁡ t 2 + c 2 ln ⁡ t e ln ⁡ t 2

y t = c 1 t 2 + c 2 t 2 ln ⁡ t

E acabamos essa questão... Bora pra próxima??

Resposta

y t = c 1 t 2 + c 2 t 2 ln ⁡ t

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Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados. y ' ' - 4 y ' + 5 y = e - x
Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados. y ' ' - y ' = x e x ,y 0 = 2 ,y ' 0 = 1
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Nos problemas 19-22, resolva cada equação diferencial pelo método dos coeficientes indeterminados.20. y ' ' - 2 y ' + y = x 2 e x