Enunciado

Equações de Euler.

Uma equação da forma

t 2 d 2 y d t 2 + α t d y d t + β y = 0 ,     t > 0 ,  

(ii)

em que α e β são constantes reais, é chamada de equação de Euler.

(a) Seja x = ln ⁡ t e calcule d y / d t e d 2 y / d t 2   em termos de d y / d x e d 2 y / d x 2 .

(b) Use os resultados do item (a) para transformar a Eq. (ii) em

d 2 y d x 2 + α - 1 d y d x + β y = 0 ,  

(iii)

Note que a Eq. (iii) tem coeficientes constantes. Se y 1 x e y 2 x formarem um conjunto fundamental de soluções da Eq. (iii), então y 1 ( ln ⁡ t )   e Y 2 ( ln ⁡ t ) formarão um conjunto fundamental de soluções da Eq. (ii).

t 2 y ' ' + 7 t y ' + 10 y = 0

Passo 1

A primeira coisa que a questão pede é pra colocar a expressão no formato da equação de Euler então teremos que identificar 2 termos, o α e o β . O α é o que acompanha y '   (que é a mesma coisa que d y / d t só a notação que é diferente), e o β é o termo que acompanha y (é o termo que não está derivado). Veja:

t 2 y ' ' + 7 t y ' + 10 y = 0

α = 7 ,     β = 10

Substituindo na equação de Euler:

y ' ' + ( 7 - 1 ) y + 10 y = 0

y ' ' + 6 y ' + 10 y = 0

Passo 2

Agora temos que encontrar as raízes dessa equação para encontrar a solução da equação característica, vamos fazer isso utilizando a fórmula de Bhaskara. Sendo assim, vamos colocar a equação no formato de equação do 2º grau, então substituímos t 2 por x 2 , t por x ignorando as derivadas, então vai ficar:

x 2 + 6 x + 10 = 0

Então para encontrar o usamos a fórmula:

Sendo: a = 1 ,   b = 6 ,   c = 10 .

Importante!!!

  • Se o resultado do ∆ > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a equação característica vai ser:
  • y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x

  • Se o resultado do ∆ = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a equação característica vai ser:
  • y = C 1 e r 1 x + C 2 t e r 2 x

  • Se o resultado do ∆ < 0 , teremos duas raízes complexas, e a equação característica vai ser:

y = e α   x   ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sen ⁡ β x )

Com isso em mãos vamos substituir na fórmula de Bhaskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

x = - 6 ± 6 2 - 4 . 1.10 2 . 1

x = - 6 ± 36 - 40 2

x = - 6 ± - 4 2

x = - 6 ± 2 i 2

x ' = - 6 + 2 i 2 = - 3 + i ,     x ' ' = - 6 - 2 i 2 = - 3 - i  

Passo 3

Como ∆ < 0 , a solução é:

y = e α   x   ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sen ⁡ β x )

Onde α é a parte real da raiz, e β é a parte imaginária.

Substituindo os valores das raízes:

y = e - 3 x   ( C 1 cos ⁡   x + C 2 sen ⁡ x )

Poderíamos parar por aqui que estaria certo, mas como ainda dá pra manipular vamos deixar no formato do livro.

Lembrando-se de substituir x por ln ⁡ t , como pede a questão.

y = e - 3 ln ⁡ t   ( C 1 cos ⁡   ln ⁡ t + C 2 sen ⁡ ln ⁡ t )

Pela propriedade do logaritmo:

log a ⁡ b = x   ↔ a x = b

log e ⁡ ln ⁡ x = x   ↔ e ln ⁡ x = x

Então fica:

y = t - 3 ( C 1 cos ⁡   ln ⁡ t + C 2 sen ⁡ ln ⁡ t )

Resposta

E finalmente chegamos no formato pedido. S2

y = C 1 t - 3 cos ⁡   ln ⁡ t + C 2   t - 3 sen   ⁡ ln ⁡ t

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