Enunciado

Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não determine os coeficientes.

y ' ' + 3 y ' - 4 y = ( x 3 + x ) e x

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea y h ( x ) e a parte particular y p ( x ) :

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Passo 2

Com isso, a equação diferencial homogênea associada é:

y ' ' + 3 y ' - 4 y = 0

E a equação característica associada é:

k 2 + 3 k - 4 = 0

A solução é dada pela fórmula de Bháskara:

k = - ( 3 ) ± ( 3 ) 2 - 4.2 . - 4 2.1 = - 3 ± 25 2 = - 3 ± 5 2 ∴ k 1 = 1 ,   k 2 = - 4

Aqui temos duas raízes reais e distintas, então a solução complementar vai ser uma combinação linear de duas exponenciais:

y h x = c 1 e x + c 2 e - 4 x

Agora vamos encontrar a solução particular.

Passo 3

A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função G x é G x = x 3 + x e x , é um polinômio de terceira ordem vezes uma exponencial ( p 3 e x ) , e faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser o mesmo tipo de função multiplicado por x ( p 3 . x . e x ) pois assim teremos uma solução L.I:

y p x = x A x 3 + B x 2 + C x + D e x

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y p x = x A x 3 + B x 2 + C x + D e x

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