Enunciado

Equações da forma t g   x + a x = 0 , onde a é inteiro, surgem em problemas de condução de calor. As raízes positivas da equação em ordem crescente são a 1 ,   a 2 ,   a 3 , … Se a = 1 , ache a 1   e   a 2 com quatro casas decimais.

Passo 1

Fazendo f x = - x   e   g x = t g   x , teremos o gráfico abaixo:

Para achar a raiz, pelo método de Newton, faremos aproximações sucessivas utilizando a fórmula: x n + 1 = x n - f x n f ' x n . Calculando f ' x , teremos:

f x = t g x + x → f ' x = sec 2 ⁡ x + 1

x n + 1 = x n - t g   x n + x n s e c 2 x n + 1

Passo 2

Observando o gráfico, vemos que, para achar a 1 utilizando o método de Newton, um bom valor de x 1 é 2. Logo, a tabela ficará:

Passo 3

Como x 3 = x 4 , o valor de a 1 = 2,0287 .

Passo 4

Para encontrar a 2 , utilizaremos o mesmo método, mas agora utilizaremos x 1 = 5 (observando o gráfico). Fazendo novamente a tabela, teremos:

Passo 5

Como x 5 = x 6 , o valor de a 2 = 4,9131 .

Resposta

a 1 = 2,0287   e   a 2 = 4,9131

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