Lista de Exercícios Resolvidos de Método de Newton-Raphson

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Seja f x = x e - x - e - 3 .

a Verifique que f x possui um zero no intervalo 0,1 ;

b Justifique teoricamente o comportamento da sequência x k colocada a seguir, gerada pelo método de Newton para o cálculo do zero de f x em 0,1 , com x 0 = 0.9 e precisão ε = 5 ∙ 10 - 6 .

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Um jogador de futebol americano está prestes a fazer um lançamento para outro jogador de seu time. O lançador tem uma altura de 1.82 m e o outro jogador está 18.2 m afastado. A expressão que descreve o movimento da bola é a familiar equação da física que descreve o movimento do projétil:

y = x t a n θ - 1 2 x 2 g v 0 2 cos 2 ⁡ θ + h

Onde x e y são as distâncias horizontal e vertical, respectivamente, g = 9.81 m / s 2 é a aceleração da gravidade. v 0 é a velocidade inicial da bola quando deixa a mão do lançador e θ é o ângulo que a bola faz com o eixo horizontal nesse mesmo instante. Para v 0 = 15.2 m / s , x = 18.2 m , h = 1.82 m e y = 2.1 m , determine o ângulo θ no qual o jogador deve lançar a bola.

Resolva o problema com tolerância 10 - 8 rad.

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Dê um exemplo de função f x , que tenha pelo menos uma raiz, onde o Método de Newton-Raphson não converge sempre.

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Calcule 26 5 pelo método de Newton-Raphson. Considere ε = 10 - 5 .

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Encontre as duas raízes reais do polinômio abaixo pelo método de Newton-Raphson com precisão 10 - 5 .

p x = x 4 - 2 x 3 + 4 x - 1.6

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Uma pessoa tomou um empréstimo de A reais, que acrescenta os juros no total antes de computar o pagamento mensal. Assim, se a taxa mensal de juros, em porcentagem, é q e o empréstimo é pelo prazo de n meses, a quantia total que o tomador concorda em pagar é:

C = A + A . n . q 100

Isto é dividido por n para dar o total de cada pagamento P , ou seja,

P = C n = A 1 n + q 100

Isto é perfeitamente legal e muito usado em lojas de departamento. (É chamado o empréstimo com acréscimo). Mas a verdadeira taxa de juros que o tomador está pagando é alguma coisa além de q % , porque ele não conserva o total do empréstimo por todos os n meses: Ele está pagando-o de volta com o decorrer do tempo. A verdadeira taxa de juros pode ser encontrada pela determinação de uma raiz x da equação:

F x = A x - P 1 + x n + P = 0

Isto fornece a taxa de juros por período de pagamento, que pode ser convertida em taxa anual multiplicando-se a mesma por 12. Seja A = R $ 1000 , n = 24 e q = 5 % . Determine a verdadeira taxa de juros com precisão de 10 - 7 .

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Use o Método de Newton para encontrar soluções com precisão de 10 - 5 para os seguintes problemas:

a e x + 2 - x + 2 cos ⁡ x - 6 = 0 para 1 ≤ x ≤ 2

b 2 x cos ⁡ 2 x - x - 2 2 = 0 para 2 ≤ x ≤ 3 e 3 ≤ x ≤ 4

c x - 2 2 - ln ⁡ x = 0 para 1 ��� x ≤ 2 e e ≤ x ≤ 4

d e x - 3 x 2 = 0 para 0 ≤ x ≤ 1 e 3 ≤ x ≤ 5

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Seja f x = - x 3 - cos ⁡ x e x 0 = - 1 . Use o Método de Newton para encontrar x 2 . O valor x 0 = 0 poderia ser usado?

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Encontre um valor aproximado para x no intervalo 0.1,0.2 com precisão de 10 - 8 , para a equação populacional:

1.564.000 = 1.000.000 e x + 435.000 x e x - 1

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O valor de π pode ser obtido através da resolução das seguintes equações: sin ⁡ x = 0 e cos ⁡ x + 1 = 0 . Aplique o Método de Newton-Raphson com x 0 = 3 e precisão 10 - 3 em cada caso e compare os resultados. Explique a diferença no número de iterações realizadas para atingir a precisão.

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