Enunciado

Esboce os círculos nos Exercícios 53-56. Dê coordenadas polares para seus centros e identifique seus raios.

r = - 2 co s ⁡ θ

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Neste problema, nosso objetivo usar as relações a seguir para transformar os círculos de coordenadas polares para coordenadas cartesianas.

r 2 = x 2 + y 2 ,   x = r cos ⁡ θ     e     y = r sen ⁡ θ

Em seguida, a partir da equação cartesiana, obter o centro e o raio e convertê-los para coordenadas polares. Ah, e não podemos esquecer de esboçar o gráfico.

Simbora?

Passo 2

Vamos começar multiplicando ambos os lados da equação por r:

r 2 = - 2 r cos ⁡ θ

Usando as relações citadas no passo 1, temos:

x 2   + y 2 = - 2 x

x 2   + 2 x + y 2 = 0

Vamos usar o método de completar quadrados somando 1 em ambos os lados da igualdade, assim:

x 2   + 2 x + 1 + y 2 = 1

Usando a fatoração do produto notável, temos:

( x + 1 ) 2   + y 2 = 1

Uma vez que a equação geral de uma circunferência é dada por:

x - x c 2 + y - y c 2 = r 2

Onde ( x c , y c ) são as coordenadas do centro e r o seu raio.

Temos então:

Centro: ( - 1 , 0 ) e Raio: r = 1

Passo 3

Porém estas coordenadas não estão no formato polar, vamos convertê-las.

Sendo r 2 = x 2 + y 2   e   θ = tan ⁡ y x , temos que:

Para ( - 1 , 0 ) , então:

r 2 = ( - 1 ) 2 + 0 2   ⟹ r = 1 + 0 ⟹ r = 1

θ = tan ⁡ 0 - 1   ⟹ θ = tan ⁡ 0 ⟹ θ = π

Logo, seu raio é r = 1 e o centro r , θ = ( 1 , π )

Por fim, seu gráfico terá o seguinte formato:

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Raio: r = 1 . Centro: r , θ = ( 1 , π ) .

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