Enunciado

  1. Esboçe o gráfico de f x = 6 - x começando pelo gráfico de y = x e usando as transformações da Seção 1.3 .
  2. Use o gráfico da parte (a) para esboçar o gráfico de f ' .
  3. Use a definição de derivada para encontrar f ' x . Quais os domínios de f e f ' ?
  4. Use um recurso gráfico para fazer o gráfico f ' e compare-o com o esboço na parte (b).

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😉

Nesse problema queremos esboçar o gráfico de f x = 6 - x começando pelo gráfico de y = x e usando as transformações da Seção 1.3 .

A partir daí queremos usar o gráfico da parte (a) para esboçar o gráfico de f ' , usar a definição de derivada para encontrar f ' x e os domínios de f e f ' e por fim, a partir de uma calculadora gráfica, fazer o gráfico f ' e comparar com o esboço na parte (b).

Parece complicado? 😁

Na seção 1.3 são dadas algumas propriedades de manipulação gráfica... como por exemplo de translação horizontal e vertical, rotação em função do eixo x ou y ...

Vamos usar essas propriedades para, apartir do gráfico de y = x , esboçar o gráfico de f x = 6 - x .

Antes de começar de fato, vale relembrar a formulinha para obter f ' x

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Tranquilo? Bora começar! 😇

Passo 2

  1. Vamos lá, para usar as transformações da Seção 1.3 vamos usar fazer primeiro o gráfico de y = x :
  2. Vamos agora fazer o gráfico de y = - x : nesse caso, rotacionamos o gráfico em relação ao eixo y , então o que era x , agora será - x ...

    Vamos fazer o de y = x - 6 : Perceba que x virou x - 6 , portanto fizemos uma translação horizontal de 6 unidades para a direita...

    Agora vamos para o último, que é o que a gente quer, o de y = - x - 6 = 6 - x : Então rotacionamos com relação ao eixo y novamente.

    Bacana, não é? 😎

    Passo 3

  3. Usando o gráfico da letra (a) esboçamos o gráfico da derivada.
  4. Perceba que quanto menor o x , mais horizontal é o gráfico e portanto, nessa parte a inclinação/derivada é muito próximo de 0 .

    Mas depois que x passa por 0 a função começa a decrescer cada vez mais até que quando vai chegando próximo de x = 6 a função decresce muito rapidamente e próximo a esse ponto a inclinação é quase vertical...

    A partir daí, relacionando a inclinação da função à derivada, podemos esboçar o gráfico de f ' como

    Tranquilo até aqui? 🤔

    Passo 4

  5. Vamos lá, para calcular f ' ( x ) pela definição vamos ter que relembrar a fórmula:
  6. f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

    Ela parece complicada, mas só parece, temos que substituir com a função que queremos, vamos lá:

    Se f x = 6 - x , temos

    f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h = lim h → 0 ⁡ 6 - x + h - 6 - x h

    Vamos destrinchar esse numerador e ver se fica simples resolver, vamos devagar pra não cometer nenhum erro:

    f ' x = lim h → 0 ⁡ 6 - x - h - 6 - x h

    Agora calma, não se assuste, vamos fazer algumas manipulações e vai da tudo certo. Vamos multiplicar a expresão pelo conjugado do numerador, já que temos raíz alí no meio.

    f ' x = lim h → 0 ⁡ 6 - x - h - 6 - x h ∙ 6 - x - h + 6 - x 6 - x - h + 6 - x

    Assim, como a - b a + b = a 2 - b 2 , no numerador temos

    f ' x = lim h → 0 ⁡ 6 - x - h - 6 - x h 6 - x - h + 6 - x

    f ' x = lim h → 0 ⁡ 6 - x - h - 6 + x h 6 - x - h + 6 - x

    Simplificando 6 e x no numerador, chegamos em

    f ' x = lim h → 0 ⁡ - h h 6 - x - h + 6 - x

    Agora podemos simplificar h do numerador e do denominador.

    f ' x = lim h → 0 ⁡ - 1 6 - x - h + 6 - x

    Pronto, chegamos em uma expressão simples, agora é só resolver aplicadando o valor que h tende:

    f ' x = lim h → 0 ⁡ - 1 6 - x - h + 6 - x

    f ' x = - 1 6 - x - 0 + 6 - x

    f ' x = - 1 2 6 - x

    Bora continuar! 😊

    Passo 5

    Agora vamos ver os domínios das duas funções: O domínio da função nada mais é do que o conjunto de valores que sua variavel pode assumir para que a função exista...

    A função f x = 6 - x tem uma raíz, então a expressão dentro dela deve ser maior ou igual a 0 , assim devemos ter que

    6 - x ≥ 0 → x ≤ 6

    então o domínio é.

    D o m f x = x ≤ 6

    Já com a derivada da função, f ' x = - 1 2 6 - x , temos o domínio o domínio muito parecido, aqui além de também termos a raíz tendo a mesma limitação de f ( x ) , temos x no denominador, o que nos impede do valor x assumir 6 , pois isso nos faria ter um denominador igual a 0 .

    Portanto o domínio de f ' x é

    D o m f ' x = x < 6

    Interessante, não é? 👀

    Passo 6

  7. Agora, como solicitado no enunciado, vamos plotar a função f ' x usando uma calculadora gráfica...

E aí! o que achou? Responde Aí! 😬

Resposta

  1. f ' x = - 1 2 6 - x
  2. D o m f x = x ≤ 6

    D o m f ' x = x < 6

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