Enunciado

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  1. Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
  2. Encontre os valores máximo e mínimo local de f .
  3. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

f x = cos 2 ⁡ x - 2 sen ⁡ x , 0 ≤ x ≤ 2 π

Passo 1

  1. Para achar os intervalos vamos calcular a primeira derivada, e analisar os sinais:
  2. f ' x = cos 2 ⁡ x - 2 sen ⁡ x '

    Vamos usar as regras de derivação da função trigonométrica e a regra da cadeia:

    sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

    cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

    F ' x = f ' g x . g ' x

    Passo 2

    Vamos agora aplicar:

    f ' x = cos 2 ⁡ x - 2 sen ⁡ x ' = 2 cos 2 - 1 ⁡ x . cos ⁡ x ' - 2 cos ⁡ x = 2 cos ⁡ x . - sen ⁡ x - 2 cos ⁡ x = - 2 cos ⁡ x sen ⁡ x + 1 = 0

    sen ⁡ x = - 1   o u cos ⁡ x = 0 → x = 3 π 2   o u   x = π 2

    Intervalo

    sen ⁡ x + 1

    - 2 cos ⁡ x

    f ' ( x )

    f

    0 < x < π 2

    +

    -

    -

    Decrescente em 0 , π 2

    π 2 < x < 3 π 2

    +

    +

    +

    Crescente em π 2 , 3 π 2

    3 π 2 < x < 2 π

    +

    -

    -

    Decrescente em 3 π 2 , 2 π

    Passo 3

  3. Para ser um ponto de máximo ou mínimo local, o sinal de f ' deve mudar nesse ponto. Vemos que em x = π 2 e x = π 2 há mudança do sinal de f ' , e como em x = π 2 o sinal muda de negativo para positivo, esse é um ponto de mínimo local, já em x = 3 π 2 o sinal muda de positivo para negativo, então ele é um ponto de máximo local.
  4. Para achar os valores é só substituir os valores em f :

    f π 2 = cos 2 ⁡ π 2 - 2 sen ⁡ π 2 = - 2

    f 3 π 2 = cos 2 ⁡ 3 π 2 - 2 sen ⁡ 3 π 2 = 2

    Passo 4

  5. Para achar os intervalos de concavidade devemos achar f ' ' ( x ) e analisar os sinal:

f ' ' x = - 2 cos ⁡ x sen ⁡ x + 1 ' = - 2 - sen ⁡ x . sen ⁡ x + 1 + - 2 cos ⁡ x . cos ⁡ x = 2 sen 2 ⁡ x + 2 sen ⁡ x - 2 cos 2 ⁡ x = 2 sen 2 ⁡ x + 2 sen ⁡ x - 2 1 - sen 2 ⁡ x = 4 sen 2 ⁡ x + 2 sen ⁡ x - 2 = 2 2 sen ⁡ x - 1 sen ⁡ x + 1 = 0

sen ⁡ x = - 1 2   o u   sen ⁡ x = - 1 → x = π 6   o u   x = 5 π 6   o u   x =   3 π 2

Intervalo

2 sen ⁡ x - 1

sen ⁡ x + 1

f ' ' ( x )

Concavidade

0 < x < π 6

-

+

-

para baixo em 0 , π 6

π 6 < x < 5 π 6

+

+

+

para cima em π 6 , 5 π 6

5 π 6 < x < 3 π 2

-

+

-

para baixo em 5 π 6 , 3 π 2

3 π 2 < x < 2 π

-

+

-

para baixo em 3 π 2 , 2 π

Para achar os pontos de inflexão devamos fazer f ' ' x = 0 que já fizemos em cima:

x = π 6   o u   x = 5 π 6

Para garantir que x = 3 π 4 e x = 7 π 4 são pontos de inflexão, devemos ver se f π 6 e f 5 π 6 existem:

f π 6 = cos 2 ⁡ π 6 - 2 sen ⁡ π 6 = - 1 4

f 5 π 6 = cos 2 ⁡ 5 π 6 - 2 sen ⁡ 5 π 6 = - 1 4

Temos que o ponto de inflexão são π 6 , - 1 4 e 5 π 6 , - 1 4 .

Resposta

  1. Crescente em π 2 , 3 π 2 e decrescente em 0 , π 2 e 3 π 2 , 2 π
  2. f π 2 = - 2 é mínimo local e f 3 π 2 = 2 é máximo local
  3. Concavidade para baixo em 0 , π 6 , 5 π 6 , 3 π 2 e 3 π 2 , 2 π e para cima em π 6 , 5 π 6 e ponto de inflexão são π 6 , - 1 4 e 5 π 6 , - 1 4

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