Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 4.3 - Ex. 14
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- Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
- Encontre os valores máximo e mínimo local de .
- Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
,
Passo 1
- Para achar os intervalos vamos calcular a primeira derivada, e analisar os sinais:
- Para ser um ponto de máximo ou mínimo local, o sinal de deve mudar nesse ponto. Vemos que em e há mudança do sinal de , e como em o sinal muda de negativo para positivo, esse é um ponto de mínimo local, já em o sinal muda de positivo para negativo, então ele é um ponto de máximo local.
- Para achar os intervalos de concavidade devemos achar e analisar os sinal:
Vamos usar as regras de derivação da função trigonométrica e a regra da cadeia:
Passo 2
Vamos agora aplicar:
Intervalo
Decrescente em
Crescente em
Decrescente em
Passo 3
Para achar os valores é só substituir os valores em :
Passo 4
Intervalo
Concavidade
para baixo em
para cima em
para baixo em
para baixo em
Para achar os pontos de inflexão devamos fazer que já fizemos em cima:
Para garantir que e são pontos de inflexão, devemos ver se e existem:
Temos que o ponto de inflexão são e .
Resposta
- Crescente em e decrescente em e
- é mínimo local e é máximo local
- Concavidade para baixo em , e e para cima em e ponto de inflexão são e
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