Enunciado

Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:

Os extremos relativos de f ;

Os pontos de inflexão do gráfico de f ;

Os intervalos em que f é crescente

Os intervalos em que f é decrescente;

Onde o gráfico é côncavo para cima;

Onde o gráfico é côncavo para baixo;

A inclinação de qualquer tangente de inflexão;

As assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem

f x = 3 sec ⁡ 1 4 x ,     x ∈ - 2 π , 2 π

Passo 1

Vamos começar olharando as assíntotas:

Vamos começar pela assíntota horizontal.

Assíntota horizontal: fazer o limite no infinito. Ou seja,

lim x → + ∞ ⁡ f x

lim x → - ∞ ⁡ f x

Com esse intervalo que ele fechou, não vai existir assíntota, porque a função não vai para o infinito.

Então ele não tem assíntota horizontal, nem as oblíquoas.

Passo 2

Vamos para as verticais. Para isso, temos que procurar algum valor de x que faça o limite ir para . Normalmente procuramos quando o denominador da fração for 0 , a secante é uma fração

3 sec ⁡ 1 4 x = 3 1 cos ⁡ 1 4 x

Então quando o cosseno for 0 , são as possíveis assíntotas verticiais.

Mas aqui vai a minha dica para vocês, no caso da secante as assíntotas verticais são:

x = π 2 + 2 k 1 π

E a secante vai para + ∞ pela esquerda e - ∞ pela direita

E

x = - π 2 + 2 k 2 π

E a secante vai para - ∞ pela esquerda e + ∞ pela direita

Mas aqui temos sec ⁡ 1 4 x , vamos trocar o x por x 4

Então as assíntotas serão:

x 4 = π 2 + 2 k 1 π

x 4 = - π 2 + 2 k 2 π

Multiplicando por 4

x = 2 π + 8 k 1 π

x = - 2 π + 8 k 2 π

Mas o intervalo vai de - 2 π até 2 π . Vamos ter k 1 = 0 e k 2 = 0

x = 2 π

x = - 2 π

Passo 3

Vamos aos extremos e os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso temos que analisar o sinal de f ' x .

f ' x = 3 4 sec ⁡ 1 4 x tg ⁡ 1 4 x

Fazendo as trocas trigonométricas, vamos achar

f ' x = 3 4 sen ⁡ 1 4 x cos 2 ⁡ 1 4 x

O sinal vai depender só daquele seno.

O seno vai ser positivo entre 0 e π , e negativo entre π e 2 π e qualquer soma de 2 π . Já que são periódicos.

Então

sen ⁡ θ > 0 ⟷ θ ∈ 0 , π + 2 k π

sen ⁡ θ < 0 ⟷ θ ∈ π , 2 π + 2 k π

Mas a função que temos é sen ⁡ 1 4 x , então vamos fazer:

θ = 1 4 x

Encontrando

sen ⁡ 1 4 x > 0 ⟷ 1 4 x ∈ 0 , π + 2 k π

sen ⁡ 1 4 x < 0 ⟷ 1 4 x ∈ π , 2 π + 2 k π

Multiplicando por 4

sen ⁡ 1 4 x > 0 ⟷ x ∈ 0,4 π + 8 k π

sen ⁡ 1 4 x < 0 ⟷ x ∈ 4 π , 8 π + 8 k π

Lembrando que ele limitou o x entre - 2 π e 2 π . Então, vamos pegar k = 0 e k = - 1

Com k = 0

sen ⁡ 1 4 x > 0 ⟷ x ∈ 0,4 π

sen ⁡ 1 4 x < 0 ⟷ x ∈ 4 π , 8 π

Saiu do nosso intervalo, então vamos pegar:

sen ⁡ 1 4 x > 0 ⟷ x ∈ 0 , 2 π

Com k = - 1

sen ⁡ 1 4 x > 0 ⟷ x ∈ - 8 π , - 4 π

sen ⁡ 1 4 x < 0 ⟷ x ∈ - 4 π , 0

Saiu do nosso intervalo, então vamos pegar:

sen ⁡ 1 4 x < 0 ⟷ x ∈ - 2 π , 0

Assim, nossa derivada vai ficar:

f ' x > 0 ⟷ x ∈ 0,2 π

f ' x < 0 ⟷ x ∈ - 2 π , 0

A função é crescente se f ' x > 0 e decrescente se f ' x < 0 , então:

c r e s c e n t e ⟷ x ∈ 0,2 π

d e c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - 2 π , 0

Passo 4

Agora vamos ver os extremos. Pelo teste da primeira derivada, teremos máximo quando a função vai de crescente para decrescente, e mínimo quando a função for de decrescente para crescente.

x = 0 → m í n i m o

Passo 5

Vamos agora para a concavidade e os pontos de inflexão. A função é côncava para cima se f ' ' x > 0 e côncava para baixo se f ' ' x < 0 .

f ' x = 3 4 sec ⁡ 1 4 x tg ⁡ 1 4 x

Para derivar essa função vamos usar a regra do produto

f ' ' x = 3 4 sec ⁡ 1 4 x ' tg ⁡ 1 4 x + 3 4 sec ⁡ 1 4 x tg ⁡ 1 4 x '

f ' ' x = 3 16 sec ⁡ 1 4 x tg ⁡ 1 4 x tg ⁡ 1 4 x + 3 4 sec ⁡ 1 4 x 1 4 sec 2 ⁡ 1 4 x

f ' ' x = 3 16 sec ⁡ 1 4 x tg 2 ⁡ 1 4 x + 3 16 sec 3 ⁡ 1 4 x

Colocando 3 16 sec ⁡ 1 4 x em evidência.

f ' ' x = 3 16 sec ⁡ 1 4 x tg 2 ⁡ 1 4 x + sec 2 ⁡ 1 4 x

O sinal vai depender só de sec ⁡ 1 4 x , porque temos a soma de dois termos ao quadrado dentro do parênteses. A secante tem o mesmo sinal o cosseno.

A secante vai ser positiva entre - π 2 e π 2 , e negativa entre π 2 e 3 π 2 e qualquer soma de 2 π . Já que são periódicos.

Então

sec ⁡ θ > 0 ⟷ θ ∈ - π 2 , π 2 + 2 k π

sec ⁡ θ < 0 ⟷ θ ∈ π 2 , 3 π 2 + 2 k π

Mas a função que temos é sec ⁡ 1 4 x , então vamos fazer:

θ = 1 4 x

Encontrando

sec ⁡ 1 4 x > 0 ⟷ 1 4 x ∈ - π 2 , π 2 + 2 k π

sec ⁡ 1 4 x < 0 ⟷ 1 4 x ∈ π 2 , 3 π 2 + 2 k π

Podemos multiplicar por 4 os intervalos de x

sec ⁡ 1 4 x > 0 ⟷ x ∈ - 2 π , 2 π + 2 k π

sec ⁡ 1 4 x < 0 ⟷ x ∈ 2 π , 6 π + 2 k π

Isso com k inteiro. O nosso intervalo fica limitado entre - 2 π e 2 π . Já é só a primeira parte, com k = 0

sec ⁡ 1 4 x > 0 ⟷ x ∈ - 2 π , 2 π

Vams ter

f ' ' x > 0 ⟷ x ∈ - 2 π , 2 π

Então:

C o n c a v a   p a r a   c i m a ⟷ x ∈ - 2 π , 2 π

Passo 6

Para terminar vamos ao esboço. Para isso, precisamos juntar todas as informações.

  • Assíntotas verticais: x = 2 π , x = - 2 π
  • c r e s c e n t e ⟷ x ∈ 0,2 π
  • d e c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - 2 π , 0
  • x = 0 → m í n i m o
  • C o n c a v a   p a r a   c i m a ⟷ x ∈ - 2 π , 2 π
  • Vamos para o gráfico, ele vai ficar assim:

    Resposta

  • Assíntotas verticais: x = 2 π , x = - 2 π
  • c r e s c e n t e ⟷ x ∈ 0,2 π
  • d e c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - 2 π , 0
  • x = 0 → m í n i m o
  • C o n c a v a   p a r a   c i m a ⟷ x ∈ - 2 π , 2 π

Vamos para o gráfico, ele vai ficar assim:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico a seguir mostra o custo hipotético c = f ( x ) em que se incorre para fabricar x itens. Em aproximadamente qual nível de produção o custo marginal muda de decrescente para crescente?
O gráfico a seguir mostra a receita mensal da Widget Corporation nos últimos 12 anos. Durante aproximadamente quais intervalos de tempo a receita marginal foi crescente? E decrescente?
O que se pode dizer sobre o gráfico de uma função y = f ( x ) que possui uma segunda derivada contínua que nunca é zero? Justifique sua resposta.
Se b ,ced são constantes, para qual valor de b a curva y = x 3 + b x 2 + c x + d apresentará um ponto de inflexão em x = 1 ? Justifique sua resposta.
Suponha que a segunda derivada da função y = f ( x ) seja y ' ' = x + 1 ( x - 2 ) . Para que valores de x o gráfico de f apresenta um ponto de inflexão?