Esboce o gráfico.

y = x^4 / 4 - 3x^2 / 2 + 2x + 1

Passo 1

Primeiro vamos determinar o domínio, temos aqui que é D f = R .

Agora vamos achar os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos usar a regra do polinômio e da função constante para achar f ' x :

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

Vamos então aplicar:

f ' x = x 4 4 - 3 x 2 2 + 2 x + 1 ' = 4 x 3 4 - 2 ⋅ 3 x 2 + 2 + 0 = x 3 - 3 x + 2

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f ' x igualando a zero:

x 3 - 3 x + 2 = 0 → x = 1 e x = - 2

Temos que f ' x > 0 em:

- 2,1 e 1 , + ∞

E f ' x < 0 em:

- ∞ , - 2

Temos que:

f é estritamente crescente em - 2,1 e 1 , + ∞

f é estritamente decrescente em - ∞ , - 2

Passo 3

Vamos achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de f ' ' x :

f ' ' x = f ' f ' x = x 3 - 3 x + 2 ' = 3 x 2 - 3

Igualando a 0 :

3 x 2   - 3 = 0 → x = ± 1

f ' ' x > 0 em x < - 1 e x > 1 , tendo a concavidade voltada para cima, e f ' ' x < 0 em - 1 < x < 1 , tendo a concavidade voltada para baixo.

O ponto de inflexão é em ± 1 .

Passo 4

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ x 4 4 - 3 x 2 2 + 2 x + 1 = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 4 4 - 3 x 2 2 + 2 x + 1 = + ∞

Passo 5

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

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