Enunciado

24. Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de oito casas decimais. Comece fazendo um gráfico para encontrar a aproximação inicial.

cos ⁡ x 2 - x = x 4

Passo 1

Nossa equação é a seguinte:

cos ⁡ x 2 - x = x 4

Antes de começar vamos esboçar um gráfico.

Considere a seguinte função:

f x = cos ⁡ x 2 - x - x 4

Passo 2

Agora é só usar aquela formula da teoria:

x n = x n - 1 - f x n - 1 f ' x n - 1

Lá do Passo 1:

f x = cos ⁡ x 2 - x - x 4

Derivando,

f ' x = - s e n x 2 - x ⋅ 2 x - 1 - 4 x 3

Arrumando as coisas, temos:

x n = x n - 1 - cos ⁡ x n - 1 2 - x n - 1 - x n - 1 4 - s e n x n - 1 2 - x n - 1 ⋅ 2 x n - 1 - 1 - 4 x n - 1 3

Olhando o gráfico, podemos ver que é interessante pegar os pontos:

x 1 = - 0,7 ; x 1 = 1

Passo 3

Para o ponto x 1 = 1,0 :

x n = x n - 1 - cos ⁡ x n - 1 2 - x n - 1 - x n - 1 4 - s e n x n - 1 2 - x n - 1 ⋅ 2 x n - 1 - 1 - 4 x n - 1 3

Fazendo as contas:

x 2 ≈ 1,0

Opa, como deu igual já podemos parar. Pois nos aproximamos o suficiente da raiz. Logo, a raiz aproximada de oito casas decimais será 1,0

Por último x 1 = - 0,7 :

Para x 2 :

x 2 ≈ - 0,73654354

Para x 3 :

x 3 ≈ - 0,73486274

Para x 4 :

x 4 ≈ - 0,7348591

Para x 5 :

x 5 ≈ - 0,7348591

Como x 4 ≈ x 5 , nossa raiz será - 0,7348591 .

Resposta

As raízes aproximadas de oito casas decimais são 1 , 0   e - 0,7348591

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Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em
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