Enunciado

(a) Esboce o gráfico de y   =   x   +   | x | adicionando as correspondentes coordenadas y nos gráficos de y = x e y = |x|.

(b) Expresse a equação y   =   x   +   | x | na forma por partes, sem valores absolutos e confirme que o gráfico obtido em (a) com essa equação é consistente.

Passo 1

(a) Então, para esboçar o gráfico, vamos somar os gráficos de y = x e y = x . Para isso, basta imaginar que eles estejam “empilhados” um em cima do outro. Vamos ver isso melhor.

Primeiro, o gráfico de y = x :

Agora, vamos desenhar o y = x no mesmo sistema:

Bom, a distância do eixo x até um ponto em y = x é igual a distância do eixo x ao y = x . Isso falando de um mesmo ponto, por exemplo x = 2 , que aí seria a distância de x = 2 até y = 2 = 2 e até y = 2 , ou seja, é a distância do eixo x até o mesmo ponto.

Com isso, para achar a soma das duas, vamos somar os valores de cada y : na parte positiva do eixo x , temos que as duas funções possuem valores positivos, então, vai aparecer algo acima delas, pois ocorrerá uma soma de valores positivos!

Já na parte negativa do eixo x , os valores da função y = x são negativos (repare ali o - x )! Enquanto de y = x continuam positivos. Logo, esses valores vão se subtrair, pois um será positivo e o outro será negativo... Assim, aparece algo entre as duas funções, nesse lado do gráfico.

Como já vimos que, para um mesmo ponto em x , os valores de y = x e y = x serão iguais, na soma (parte positiva de x ), teremos um gráfico com o dobro dos valores das funções. Já na subtração (parte negativa de x ), teremos um cancelamento dos valores das funções, o que dará um valor 0 até a origem.

Dessa forma, soma das duas vai aparecer assim (em azul):

Como falamos, os valores ao lado direito de y estão dobrados e os valores ao lado esquerdo, são nulos!

Agora, só o gráfico que nos interessa:

Esse é o gráfico de y = x + x .

Passo 2

(b) Esquece o gráfico que vimos, por enquanto, e vamos escrever y = x + x por partes.

Sabemos que x é - x para x < 0 e x para x ≥ 0 , isso porque o módulo vai transformar todos os valores de x para valores positivos, então temos que inverter o sinal quando x < 0 e quando x ≥ 0 não precisamos mudar nada, pois o valor já é positivo. Então temos:

Para x < 0 :

y = - x

Para x ≥ 0 :

y = x

A diferença é que agora vamos adicionar um x nessa equação. Então:

Para x < 0 :

y = - x + x

y = 0

Para x ≥ 0 :

y = x + x

y = 2 x

Juntando essas informações, podemos escrever a função y = x + x assim:

y = 0 ,   x < 0 2 x ,   x ≥ 0

Opa, é exatamente o que achamos na letra anterior:

Repare que para x < 0 , nossa função era nula e para x ≥ 0 , vimos que os valores haviam dobrado, ou seja, viraram 2 x .

Resposta

(a)

(b) Bateu!

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A locadora A aluga um carro popular ao preço de R $30,00 a diária mais R $0,20 por quilômetro rodado. A locadora B o faz por R $40,00 a diária mais R $0,10 por quilômetro rodado. Qual a locadora você
Uma criança tem um montante fixo M = R $180,00 para comprar latinhas de refrigerantes e cachorros quentes para sua festa de aniversário. Suponha que cada latinha de refrigerante custe R $1,20 e cada c
Para medir a temperatura são usados graus Celsius ° C ou graus Fahrenheit ° F . Ambos os valores de 0 ° C e 32 ° F representam a temperatura em que a água congela e ambos os valores 100 ° C e 212 ° F
Associe cada equação a seu gráfico. Explique sua escolha. (Não use computador ou calculadora gráfica) y = x 2 y = x 5 y = x 8
Associe cada equação a seu gráfico. Explique sua escolha. (Não use computador ou calculadora gráfica) y = 3 x y = 3 x y = x 3 y = x 3