Enunciado

(a) Esboce o gráfico da curva plana com equação vetorial dada.

(b) Determine r’(t).

(c) Esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente r’(t) para o valor dado de t.

r t = t - 2 ,   t 2 + 1 ,                                     t = - 1

Passo 1

As equações paramétricas correspondentes à função vetorial dada são

x = t - 2                   y = t 2 + 1

Isolando-se t na primeira equação obtemos t = x + 2 . Substiuindo esse resultado na segunda equação temos

y = x + 2 2 + 1

y = x 2 + 4 x + 5

Passo 2

A função y = f ( x ) obtida no passo anterior é uma forma mais “familiar” da função vetorial r ( t ) . É fácil perceber que trata-se de uma função quadrática cujo gráfico é uma parábola com concavidade para cima. Abaixo está uma representação da curva dessa função.

Passo 3

Determinamos r ' ( t ) derivando as componentes de r ( t ) .

r t = t - 2 ,   t 2 + 1           →                 r ' t = ( 1 ,   2 t )

Passo 4

O vetor posição r ( t ) em t = - 1 é

r - 1 = ( - 3 ,   2 )

Por outro lado, o vetor tangente em t = - 1 , tem origem no ponto (-3, 2) e é dado por

r ' - 1 = ( 1 ,   - 2 )

Com base nos resultados obtidos podemos representar esses vetores conforme mostrado na figura abaixo:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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