Enunciado

Se r (t) = ( t , t^2 , t^3 ) , encontre r^' (t) , T (1) , r ' ' ( t ) e r ' ( t ) xx r ' ' ( t ) .

Passo 1

A derivada r ' ( t ) da função vetorial r ( t ) é obtida derivando-se seus componentes:

r^' (t) = ( 1 , 2 t , 3 t^2 )

A segunda derivada, por sua vez, é obtida derivando-se a primeira derivada. Logo, temos:

r^(' ') (t) = ( 0 , 2 , 6 t )

Passo 2

O vetor tangente unitário em t = 1 da função vetorial é dado por

T (1) = (r^' (1))/(|r^' (1)|)

Por isso vamos calcular r ' ( 1 ) , bastando para isso, substituir t = 1 no vetor obtido no primeiro passo.

r^' (1) = ( 1 , 2 , 3 )

O módulo do vetor acima pode ser calculado facilmente como mostrado a seguir:

|r^' (1)| = sqrt((1)^2 + (2)^2 + (3)^2)

|r^' (1)| = sqrt(14)

Agora já podemos calcular T ( 1 ) :

T (1) = (1)/(|r^' (1)|) * r ' ( 1 )

T (1) = (1)/(sqrt(14)) * ( 1 , 2 , 3 )

T (1) = ( (1)/(sqrt(14)) , (2)/(sqrt(14)) , (3)/(sqrt(14)) )

Passo 3

Com base nos resultados do Passo 1 podemos calcular o produto vetorial r ' ( t ) xx r ' ' ( t ) .

r^' (t) xx r^(' ') (t) = |[[i,j,k],[1,2,t,3,t^2],[0,2,6,t]]|

= |[[2,t,3,t^2],[2,6,t]]| i - |[[1,3,t^2],[0,6,t]]| j + |[[1,2,t],[0,2]]| k

= (12 t^2 - 6 t^2) i - (6 t - 0) j + (2 - 0) k

= 6 t^2 i - 6 t j + 2 k

Resposta

r^' (t) = ( 1 , 2 t , 3 t^2 )

T (1) = ( (1)/(sqrt(14)) , (2)/(sqrt(14)) , (3)/(sqrt(14)) )

r^(' ') (t) = ( 0 , 2 , 6 t )

r^' (t) xx r^(' ') (t) = 6 t^2 i - 6 t j + 2 k

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