Enunciado

  1. Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada.
  2. Encontre r ' ( t ) .
  3. Esboce o vetor posição r ( t ) e o vetor tangente r ' ( t ) para o valor dado de t .

r t = cos ⁡ t + 1 i ^ + sen ⁡ t - 1 j ^ ,     t = - π 3

Passo 1

Galera, a curva é dada pela seguinte equação:

r t = cos ⁡ t + 1 i ^ + sen ⁡ t - 1 j ^

Vamos puxar lá da geometria analítica que:

x = cos ⁡ t

y = s e n   t

descrevem uma circunferência de raio 1 . Os valores que somam e subtraem o cosseno e o seno movem o centro da origem para um outro ponto. No caso dessa questão, o centro vai pra ( 1 , - 1 ) .

Para resolver essa atividade, a gente vai relembrar nossos tempos de escola. Vamos colocar alguns valores de t na função r ( t ) , e após isso teremos os pontos r t = ( i , j ) , iremos então plotar esses pontos utilizando o GeoGebra e assim teremos o nosso gráfico.

Passo 2

Vamos calcular alguns pontos por onde a curva passa:

  • t = 0
  • r 0 = 2 i ^ - 1 j ^         →       ( 2 , - 1 )

  • t = π / 2
  • r π 2 = 1 i ^ - 0 j ^       →         1,0

  • t = π
  • r π = 0 i ^ - 1 j ^         →         0 , - 1

  • t = 3 π 2

r 3 π 2 = 1 i ^ - 2 j ^         →             1 , - 2

A curva é desenhada em sentido anti-horário conforme t aumenta.

Resposta

O gráfico é:

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