Enunciado

Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

Abaixo do paraboloide z = x 2 + y 2 e acima do disco x 2 + y 2 ≤ 25 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Em coordenadas polares, temos que:

x 2 + y 2 = r 2

Onde:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Sendo assim, quando z = 0 , temos:

r = 0

E sabemos que o volume do sólido é dado por:

∬ D z d A

Onde D será a região delimitada por:

0 ≤ r ≤ 5 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora é só desenvolver. Como:

d A = r d r d θ

Temos que:

V = ∬ D z d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 5 r 2 ⋅ r d r d θ

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 5 r 3 d r d θ

Resolvendo a integral de dentro, temos:

∫ 0 5 r 3 d r = r 4 4 0 5

∫ 0 5 r 3 d r = 5 4 4

∫ 0 5 r 3 d r = 625 4

Logo:

∫ 0 2 π ∫ 0 5 r 3 d r d θ = ∫ 0 2 π 625 4 d θ

Resolvendo, agora, temos:

∫ 0 2 π 625 4 d θ = 625 4 θ 0 2 π

∫ 0 2 π 625 4 d θ = 625 4 2 π

∫ 0 2 π 625 4 d θ = 625 π 2

Portanto o volume vale:

V = 625 π 2

Resposta

V = 625 π 2

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