Enunciado

Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.

∫ 0 2 ∫ 0 2 x - x 2   x 2 + y 2 d y d x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Em coordenadas polares, temos que:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

d y d x = r d r d θ

Observando os limites de integração sabemos a região de integração:

y = 2 x - x 2  

y 2 = 2 x - x 2

x 2 + y 2 = 2 x

Sabemos que x 2 + y 2 = r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2 = r 2 , logo:

r 2 = 2 x

r 2 = 2 r cos ⁡ θ

r = 2 cos ⁡ θ

Temos também que:

0 = 2 cos ⁡ θ

θ = π 2

Onde D será a região delimitada por:

0 ≤ r ≤ 2 cos ⁡ θ ,   0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 2

Agora é só desenvolver:

∫ 0 2 ∫ 0 2 x - x 2   x 2 + y 2 d y d x = ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 r ⋅ r d r d θ

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 r ⋅ r d r d θ = ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 r 2 d r d θ

Resolvendo a integral de dentro, temos que:

∫ 0 2 r 2 d r = r 3 3 0 2

∫ 0 2 r 2 d r = 8 3

Logo:

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 r 2 d r d θ = ∫ 0 π 2 8 3 d θ

Resolvendo a segunda integral, temos:

∫ 0 π 2 8 3 d θ = 8 3 θ 0 π 2

∫ 0 π 2 8 3 d θ = 8 3 π 2

∫ 0 π 2 8 3 d θ = 4 π 3

Portanto a nossa integral vale:

∫ 0 2 ∫ 0 2 x - x 2   x 2 + y 2 d y d x = 4 π 3

Resposta

∫ 0 2 ∫ 0 2 x - x 2   x 2 + y 2 d y d x = 4 π 3

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Calcular ∬ R y d x d y , sendo R a região delimitada por y = x , y = 2 x e y = 4 - x 2 .
Calcular ∫ 0 4 ∫ 0 1 4 144 - 9 y 2 ( 144 - 16 x 2 - 9 y 2 ) d x d y .
Calcular ∬ R ( 36 - 4 x 2 - 9 y 2 ) d x d y , onde R é a região delimitada pela elipse x 2 9 + y 2 4 = 1 .
Calcular ∬ R x d x d y , sendo R é a região do primeiro quadrante delimitada por x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 1 , y = x e y = 0 .
Calcular ∬ R ( x + y ) d x d y , onde R é a região do primeiro quadrante delimitada por x y = 1 , x y = 2 , y = x e y = 4 + x .