Enunciado

Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas

lim x → 2 ⁡ f x = ∞         lim x → - 2 + ⁡ f x = ∞           lim x → - 2 - ⁡ f x = - ∞

lim x → - ∞ ⁡ f x = 0         lim x → ∞  ⁡ f x = 0           f 0 = 0

Passo 1

Falaeee, belezinha? Bom.. a questão nos dá as seguintes condições abaixo e nos pede para esboçar um gráfico a partir delas:

lim x → 2 ⁡ f x = ∞         lim x → - 2 + ⁡ f x = ∞           lim x → - 2 - ⁡ f x = - ∞

lim x → - ∞ ⁡ f x = 0         lim x → ∞  ⁡ f x = 0           f 0 = 0

Então vamos com muuuuita calma, entender cada informação dessas!

Mas antes vou te relembrar de alguns conceitos. Limites laterais são limites quando nos aproximamos da função por apenas um lado. E usamos esses sinaizinhos de + e – do ladinho do valor que x tende. Indicando se estamos nos aproximando pela esquerda ou pela direita:

  • lim x → - 2 + ⁡ f x = ∞ significa que estamos nos aproximando pela esquerda e x < - 2
  • lim x → - 2 - ⁡ f x = - ∞ significa que estamos nos aproximando pela direita e x > - 2

Em casos como esse, que os limites laterais são diferentes, o limite geral não existe. Pro limite de uma função num ponto existir, precisamos que os limites laterais naquele ponto existam e sejam iguais entre si. Sendo assim:

  • lim x → 2 ⁡ f x = ∞ significa que os limites laterais existem e são iguais. Se nos aproximamos de 2, seja pela direita ou pela esquerda, a função explode pro infinito positivo.
  • Também sabemos o comportamento pra valores muito muito grandes ou muito muito pequenos:

  • lim x → - ∞ ⁡ f x = 0 quer dizer que quando x assume valores muito muito pequenos, a função se aproxima cada vez mais de zero
  • lim x → ∞  ⁡ f x = 0 quer dizer que quando x assume valores muito muito grandes, a função se aproxima cada vez mais de zero

Bom e sabemos também que a função passa pela origem:

  • f 0 = 0

Antes de começar, vou apresentar mais um último conceito: o de assíntotas horizontais e verticais. Uma assíntota é uma linha que uma curva se aproxima à medida que você segue indefinidamente ao longo da curva.

Se a função explode pro infinito quando x → a então temos uma assíntota VERTICAL em x = a .

Quando fazemos o limite da função pra x indo pro infinito, se achamos um número finito b , então temos uma assíntota horizontal em y = b .

Chega, vamos praticar!

Passo 2

Repare que nesse tipo de questão nós temos diversas soluções. Vou fazer uma, olha só:

Se a função explode pro infinito quando x → a então temos uma assíntota VERTICAL em x = a .

lim x → 2 ⁡ f x = ∞         lim x → - 2 + ⁡ f x = ∞           lim x → - 2 - ⁡ f x = - ∞

Vamos ter duas assíntotas verticais:

x = 2 e x = - 2

Em x = 2 a função cresce infinitamente quando nos aproximamos de x = 2 pelos 2 lados.

Em x = - 2 , a função cresce quando nos aproximamos pela direita e decresce infinitamente, quando nos aproximamos pela esquerda.

Passo 3

Quando fazemos o limite da função pra x indo pro infinito, se achamos um número finito b , então temos uma assíntota horizontal em y = b .

lim x → - ∞ ⁡ f x = 0

Quando x vai pro infinito positivo, também tendemos a zero:

lim x → ∞  ⁡ f x = 0

O limite é igual a um número finito, então temos uma assíntota HORIZONTAL em:

y = 0

Passo 4

E, por fim,

f 0 = 0 → nossa função passa na origem

Desenhando as assíntotas. São essas 3 linhas tracejadas, vermelha, azul e roxa:

Passo 5

Vamos pensar no gráfico como se a gente tivesse trilhando um caminho, a gente vem de x = - ∞ , passa por x = - 2 pela esquerda, depois pela direita, passamos por x = 2 e finalmente vamos para x = ∞ .

Lembrando que:

lim x → 2 ⁡ f x = ∞         lim x → - 2 + ⁡ f x = ∞           lim x → - 2 - ⁡ f x = - ∞

lim x → - ∞ ⁡ f x = 0         lim x → ∞  ⁡ f x = 0           f 0 = 0

Quando eu saio de x = - ∞ eu me aproximo de y = 0 e quando eu vou chegando em x = - 2 eu vou para - ∞ .

Quando atravessamos x = - 2 estamos lá no infinito, mas agora positivo, lembrando que os limites laterais em -2 são diferentes. A a medida que nos aproximamos de x = 2 saimos do infinito, passamos por ( 0,0 ) e voltamos pro infinito!

Agora a gente atravessa x = - 2 e nesse momento estamos no y = - ∞ , a medida que assumimos valores maiores de x nos aproximamos de y = 0 .

Deu pra entender direitinho? Pronto! Conseguimos nosso gráfico!

Resposta

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