Enunciado

Esboce o gráfico da função y = f ( x ) dada implicitamente pela equação

e )   x 2 + y 2 + 2 x + 4 y = 0 ,   y ≤ - 2

Passo 1

Antes de tudo, vamos completar o quadrado tanto na parte em y , quanto na parte em x para termos uma equação mais amistosa:

x 2 + 2 x + 1 - 1 + y 2 + 4 y + 4 - 4 = 0

Assim os termos em x e em y podem se juntar e formar um produto notável:

( x + 1 ) 2 + y + 2 2 - 5 = 0

( x + 1 ) 2 + y + 2 2 = 5

Agora vamos dar uma olhadinha pra cara dessa equação. Ela é do tipo:

x - x c 2 + y - y c 2 = R 2

Não é? E essa é a equação de uma circunferência na forma reduzida. Se você não se lembra, dá uma olhadinha na parte de circunferência da nossa plataforma =)

Aqui temos que o centro é dado por ( - 1 , - 2 ) e o raio é R = 5 . Como queremos a parte y ≤ - 2 , queremos apenas a parte negativa da circunferência. Ok? Feita essa parte, vamos ao que interessa?

Passo 2

Primeiro vamos deixar y explicitamente em função de x . Como? Isolando y no lado esquerdo da equação ( x + 1 ) 2 + y + 2 2 = 5 :

y + 2 2 = 5 - ( x + 1 ) 2

Tirando a raiz quadrada dos dois lados vamos ter:

y + 2 = 5 - x + 1 2

Finalmente isolando y temos:

y = - 2 + 5 - ( x + 1 ) 2

Passo 3

Beleza! Como queremos o gráfico de y ≤ - 2 , então a parte que nos interessa é a parte negativa da raiz 5 - ( x + 1 ) 2 . É como se o gráfico do exercício 15 a tivesse criado perninhas e descido duas casa e dado um passo para a esquerda. Vamos ao esboço?

Resposta

y = 5 - ( x + 1 ) 2

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