Enunciado

f x = x 2 2 ,   - 2 ≤ x < 2

f x + 4 = f ( x )

(a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.

(b) Encontre a série de Fourier para a equação dada.

(c) Faça o gráfico da soma parcial s m ( x ) em função de x para m = 5, 10 e 20.

(d) Descreva como a série de Fourier parece estar convergindo.

Passo 1

O item (a) nos pede para desenhar o gráfico da função. A nossa função é y = x 2 / 2 para o intervalo - 2 ≤ x < 2 . O que vamos fazer é esboçar a função para este período e estendê-la para um perído anterior e para o perído seguinte. Ficamos então com algo da forma:

Passo 2

Vamos agora para o item (b). Ele nos pede para encontrar a série de Fourier para a função f ( x ) A série de Fourier é uma equação da forma:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 m a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L

Precisamos então obter os termos a 0 ,   a n ,   b n e L . O intervalo de uma função escrita como série de Fourier é definido como - L ≤ x < L . Então, para a nossa função L = 2 . Tudo bem?

O próximo passo é o cálculo dos coeficientes. O coeficiente a 0 é definido por:

a 0 = 1 L ∫ - L L f x d x

a 0 = 1 2 ∫ - 2 2 x 2 2 d x

a 0 = 1 2 x 3 6 - 2 2

a 0 = 1 2 8 6 - - 8 6 = 16 12 = 4 3

Agora vamos determinar a n :

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x

a n = 1 2 ∫ - 2 2 x 2 2 cos ⁡ n π x 2 d x

a n = 1 2 2 n π x 2 2 sen ⁡ n π x 2 - 2 2 - 2 n π ∫ - 2 2 x sen ⁡ n π x 2 d x

a n = 1 2 1 n π 4 2 sen ⁡ n π - 4 2 sen ⁡ - n π + 4 n π 2 x cos ⁡ n π x 2 - 2 2 - 4 n π 2 ∫ - 2 2 cos ⁡ n π x 2 d x

a n = 1 2 0 + 4 n π 2 2 cos ⁡ n π - ( - 2 ) cos ⁡ - n π - 8 n π 3 sen ⁡ n π x 2 - 2 2

a n = 8 n π 2 cos ⁡ n π - 4 n π 3 ( sen ⁡ n π - sen ⁡ - n π )

a n = 8 n π 2 cos ⁡ n π

Por fim, vamos calcular b n :

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x

b n = 1 2 ∫ - 2 2 x 2 2 sen ⁡ n π x 2 d x

b n = 1 2 - 2 n π x 2 2 cos ⁡ n π x 2 - 2 2 + 2 n π ∫ - 2 2 x cos ⁡ n π x 2 d x

b n = 1 2 - 2 n π 4 2 cos ⁡ n π - 4 2 cos ⁡ - n π + 4 n π 2 x sen ⁡ n π x 2 - 2 2 - 4 n π 2 ∫ - 2 2 sen ⁡ n π x 2 d x

b n = 1 2 4 n π 2 2 sen ⁡ n π - 2 sen ⁡ - n π + 8 n π 3 cos ⁡ n π x 2 - 2 2

b n = 1 2 ( 0 + 8 n π 3 ( cos ⁡ n π - cos ⁡ - n π )

b n = 0

Aplicando na função:

f x = 4 3 2 + ∑ n = 1 m 8 n π 2 cos ⁡ n π cos ⁡ n π x L

f x = 2 3 + 8 π 2 ∑ n = 1 m 1 n 2 cos ⁡ n π cos ⁡ n π x 2

Como cos ⁡ n π só possui valor 1 para n par e - 1 para n ímpar vamos reescrevê-lo como:

cos ⁡ n π = - 1 n

Então

f x = 2 3 + 8 π 2 ∑ n = 1 m - 1 n n 2 cos ⁡ n π x 2

Passo 3

Vamos agora para o item (c). Ele nos pede para montar os gráficos de s m ( x ) para 5, 10 e 20 termos. Com o auxílio de Excel podemos montar o somatório para m = 5 , 10 e 20. A seguir são mostrados os gráficos das somas e da função:

Vamos agora responder o item (d). A partir da análise do gráfico podemos ver que a série de Fourier converge para a função f ( x ) . Alternativamente podemos verificar que os valores de a n e b n decrescem com o aumento de n :

Como isso acontece, o esperado é que para n → ∞ , a n , b n → 0 , e por isso, para um n suficientemente grande, o valor do somatório deve convergir para um valor único.

Resposta

(a)

(b) f x = 2 3 + 8 π 2 ∑ n = 1 m - 1 n n 2 cos ⁡ n π x 2 .

(c)

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f x = - 1 2 x , - 2 ≤ x0 , 2 x - 1 2 x 2 , 0 ≤ x2 f x + 4 = f ( x ) (a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.(b) Encontre a série de Fourier para a equação dada.(c) Faça o gráfico da soma
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