Enunciado

Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas.

Passo 1

Nesse exercício temos as seguintes condições:

f ' 5 = 0 , f ' x < 0 para x < 5 .

f ' x > 0 para x > 5 . f ' ' 2 = 0 , f ' ' 8 = 0 .

f ' ' x < 0 para x < 2 ou x > 8 .

f ' ' x > 0 para 2 < x < 8 , lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = 3 , lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = 3

Passo 2

Vamos fazer esse exercício analisando as condições separadamente. Da primeira condição temos uma assíntota horizontal em x = 5 já que f ' 5 = 0 . E como f ' x < 0 para x < 5 , sabemos que f é decrescente no intervalo ( - ∞ , 5 ) . Da mesma forma f ' x > 0 no intervalo x > 5 indica que f é crescente no intervalo ( 5 , ∞ ) .

Da condição de f ' ' 2 = 0 e f ' ' 8 = 0 sabemos que os pontos x = 2 e x = 8 são pontos de inflexão.

Passo 3

De f ' ' x < 0 para x < 2 ou x > 8 sabemos que o gráfico da função é côncava para baixo nos intervalos ( - ∞ , 2 ) e ( 8 , ∞ ) .

Da mesma forma, para f ' ' x > 0 para 2 < x < 8 , o gráfico da função é côncavo para cima no intervalo ( 2,8 ) .

E, finalmente, as condições de limite , lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = 3 , lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = 3 indicam que y = 3 é uma assíntota horizontal.

A imagem a seguir ilustra um gráfico que atende as condições do enunciado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Obtenha um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais e verticais e dê suas equações. Identifique (se houver)
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