Enunciado

Suponha que f é uma função contínua onde f x > 0 para qualquer valor de x , f 0 = 4 , f ' x > 0 se x < 0 ou x > 2 , f ' x < 0 se 0 < x < 2 , f ' ' - 1 = f ' ' 1 = 0 , f ' ' x > 0 se x < - 1 ou x > 1 , f ' ' x < 0 se - 1 < x < 1 .

a) f pode ter um máximo absoluto? Se sim, esboce um possível gráfico de f , se não, explique o porque.

b) f pode ter um mínimo absoluto? Se sim, esboce um possível gráfico de f , se não, explique o porque.

c) Esboce um possível gráfico de f que não tenha um mínimo absoluto.

Passo 1

Opa! Temos aqui uma questão digna de mestre dos magos! A questão nos da uma função f ( x ) misteriosa com as seguintes condições:

f é uma função contínua

f x > 0 para qualquer valor de x

f 0 = 4 , f ' x > 0 se x < 0 ou x > 2

f ' x < 0 se 0 < x < 2

f ' ' - 1 = f ' ' 1 = 0

f ' ' x > 0 se x < - 1 ou x > 1

f ' ' x < 0 se - 1 < x < 1

Em cima disso temos que responder três perguntas! Bora encarar esse desafio?!

Passo 2

Na letra (a) ele pergunta se f pode ter um máximo absoluto? Se sim, precisaremos esboçar um possível gráfico de f , se não, temos que justificar.

Do enunciado, temos uma função contínua, crescente para x > 2 , já que f ' x > 0 para x > 2 e também com concavidade coltada para cima para x > 1 da condição f ' ' x > 0 se x > 1 .

Dessa forma, podemos imaginar o gráfico da função sempre crescendo conforme avançamos no eixo x , sendo assim, a função não pode ter um máximo absoluto.

Passo 3

A letra (b) é igual a letra (a), mas agora falando sobre mínimo!

Através da condição f ' ' x > 0 se x < - 1 ou x > 1 temos que a função é côncava para cima no intervalo ( 1 , ∞ ) , sabemos também de f ' x < 0 se 0 < x < 2 e de f ' x > 0 se x < 0 ou x > 2 que a função decresce no intervalo ( 0,2 ) e depois volta a crescer no intervalo ( 2 , ∞ ) .

Dessa forma, o ponto x = 2 pode ser um mínimo absoluto. O seguinte gráfico ilustra essa situação:

Passo 4

Agora vamos para a última etapa, a letra c). Temos que esboçar um possível gráfico de f que não tenha um mínimo absoluto.

Para isso basta que modifiquemos o gráfico da letra b), deslocando a assíntota horizontal um pouco abaixo do ponto mínimo até então: x = 2 . Podemos fazer com que o gráfico tenha uma assíntota em y = 1 . Assim:

Prontinhooo!

Resposta

a) O gráfico da função é sempre crescente, sendo assim, a função não pode ter um máximo absoluto.

b)

c)

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