Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 33
Suponha que é uma função contínua onde para qualquer valor de , , se ou , se , , se ou , se .
a) pode ter um máximo absoluto? Se sim, esboce um possível gráfico de , se não, explique o porque.
b) pode ter um mínimo absoluto? Se sim, esboce um possível gráfico de , se não, explique o porque.
c) Esboce um possível gráfico de que não tenha um mínimo absoluto.
Passo 1
Opa! Temos aqui uma questão digna de mestre dos magos! A questão nos da uma função misteriosa com as seguintes condições:
é uma função contínua
para qualquer valor de
, se ou
se
se ou
se
Em cima disso temos que responder três perguntas! Bora encarar esse desafio?!
Passo 2
Na letra (a) ele pergunta se pode ter um máximo absoluto? Se sim, precisaremos esboçar um possível gráfico de , se não, temos que justificar.
Do enunciado, temos uma função contínua, crescente para , já que para e também com concavidade coltada para cima para da condição se .
Dessa forma, podemos imaginar o gráfico da função sempre crescendo conforme avançamos no eixo , sendo assim, a função não pode ter um máximo absoluto.
Passo 3
A letra (b) é igual a letra (a), mas agora falando sobre mínimo!
Através da condição se ou temos que a função é côncava para cima no intervalo , sabemos também de se e de se ou que a função decresce no intervalo e depois volta a crescer no intervalo .
Dessa forma, o ponto pode ser um mínimo absoluto. O seguinte gráfico ilustra essa situação:
Passo 4
Agora vamos para a última etapa, a letra c). Temos que esboçar um possível gráfico de que não tenha um mínimo absoluto.
Para isso basta que modifiquemos o gráfico da letra b), deslocando a assíntota horizontal um pouco abaixo do ponto mínimo até então: . Podemos fazer com que o gráfico tenha uma assíntota em . Assim:
Prontinhooo!
Resposta
a) O gráfico da função é sempre crescente, sendo assim, a função não pode ter um máximo absoluto.
b)
c)