Enunciado

Esboce o gráfico da função g x = x + x . Para que valores de x é g diferenciável? Encontre uma fórmula para g ' x .

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

g x = x + x

E nosso objetivo é dizer para quais valores de x a função g é diferenciável e tambem queremos obter uma formula para g ' x .

Parece complicado?

Bom galera, primeiro a gente pode observar que por causa do módulo a função tem duas partes:

Quando x ≤ 0 , os termos da função se cancelam e quando x > 0 , os termos da função se somam...

Dessa forma podemos rescrever nossa função como

f x = x ≤ 0 →   f x = 0 x > 0 → f ( x ) = 2 x

Agora como temos uma função definida por partes, podemos resolver nosso problema de maneira mais simples.

Veja só!

Passo 2

Se esboçarmos o gráfico de g , vemos que em x ≤ 0 a função é constante e igual a 0 , mas para x > 0 a função é uma reta 2 x ...

Com isso, temos

Lembra que quando temos um bico em um ponto da função, esse ponto não é diferenciável?

Aqui temos um bico em x = 0 , então a partir do gráfico, devido a junção das duas retas a função g não é diferenciável em x = 0 .

Então ela é diferenciavel para todo x ≠ 0 .

Show de bola?

Passo 3

Agora queremos determinar uma formula para g ' ...

Sabemos que a derivada de uma função pode ser interpretada como a inclinação da reta tangente a essa função...

Portanto, como temos duas retas que compõe a função, podemos definir g ' como as inclinações de cada uma das partes...

x < 0 →   g ' x = 0 x > 0 → g ' x = 2

Escrevendo isso em função de x temos que se x < 0 , g ' x = 0 . Mas se x > 0 , g ' x = 2 e em x = 0 a não não está definida...

Usando o módulo também podemos escrever:

f ' x = 1 + | x | x

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

É diferenciavel para todo x ≠ 0

f ' x = 1 + | x | x

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Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x 1 ; (c) calcule f ’ - ( x 1 ) e f ’ + ( x 1 ) , se existirem; (d) determine se f é d
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