Enunciado

A temperatura da água afeta a taxa de crescimento da truta. A tabela mostra a quantidade de peso adquirida pela truta após 24 dias em várias temperaturas da água. Se W ( x ) for o ganho de peso na temperatura x , construa uma tabela dos valores estimados para W ' e esboce seu gráfico. O que são as unidades para W ' ( x ) ?

Passo 1

Fala galera, tudo bem? O problema nos deu uma tabela que mostra valores de temperatura e peso ganho para um espécie de peixe. O problema pede para encontrarmos os valores estimados de W ' , mas o que seria isso?

Seria a taxa de ganho de peso! Ganho esse de peso em função da temperatura! Vamos chamar temperatura de x e ganho de peso W , e sabemos que taxa é a razão entre duas grandezas, assim o ganho (ou a estimativa de) W ' para uma variação de temperatura Δ x é

W ' x = ∆ W ( x ) ∆ x

Podemos também relacionar com o conceito de derivada! Derivada é sempre a inclinação de uma função, considerando isso é a divisão da variação da imagem pela variação do domínio! Vamos chamar o domínio de W e imagem de x . Beleza?

A ideia é relacionar a ideia de derivada com estimativa para achar o que se pede! Mas uma coisa já podemos pensar sobre: a unidade!

É o ganho de peso (medido em gramas) pela variação de temperatura (medida em ° C ) certo? Então a taxa é a razão dessas unidades

W ' = g ° C

E o restante? Calma, vamos fazer aos poucos! Vem comigo!

Passo 2

A diferença crucial entre derivada e estimativa é o intervalo entre medidas considerado! Quando temos uma estimativa é porque o intervalo (no nosso caso) de temperatura não é tão pequeno assim, como se fosse a velocidade média em um carro.

Essa estimativa vai, como o nome diz, estimar o valor da taxa de ganho de peso, mas não será tão preciso quanto a derivada.

Já para determinar a derivada, precisamos de uma função que descreva bem o comportamento. Como na velocidade instantânea: a gente sabe exatamente como se comporta a posição em função do tempo, e portanto, podemos derivar e achar a velocidade instantânea!

Assim teremos uma informação em tempo real da velocidade, ou no nosso caso, do ganho de peso na temperatura exata.

Beleza?

Passo 3

Beleza, agora vamos contruir uma tabela com estimativas para os valores de W ' ( x ) .

Podemos calcular a derivada estimada em cada uma das temperaturas, entre 15.5 e 24.4 :

W ' 15.5 = W 17.7 - W ( 15.5 ) 17.7 - 15.5

→ W ' 15 = 31 - 37.2 17.7 - 15.5 = - 2,82

Veja que os valores são próximos, mas não muito! Isso porque não temos uma função analítica para o peso em função da temperatura.

Para os outros anos iremos usar uma média entre a aproximação pelos dois lados, começando por f ' ( 17.7 ) :

W ' 17.7 = W 15.5 - W ( 17.7 ) 15.5 - 17.7

→ W ' 17.7 = 37.2 - 31 - 2.2 = - 2.82

W ' 17.7 = N 20 - N 17.7 20 - 17.7

→ W ' 17.7 = 19.8 - 31 2.3 = - 4.87

Considerando isso, a média dos dois é a seguinte:

W ' 17.7 = - 2.82 + - 4.87 2 = - 3.84

Passo 4

Repetindo o passo anterior para os outros anos, obtemos a seguinte tabela:

Passo 5

Show de bola, agora iremos pegar os pontos de W ' ( x ) e colocar em um gráfico, como mostrado abaixo, considerando que temos uma razão entre peso e temperatura, teremos a unidade de medida igual a g ° C .

No eixo vertical seria o ganho de peso e na horizontal a temperatura.

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

g / ° C

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Usando uma ferramenta gráfica, construir o gráfico das funções seguintes, analisando suas propriedades e características como apresentado no item 5.9 . 3 . h) f x = ln ⁡ ( x 2 + 1 )
Seguindo as etapas apresentadas em 5.9 . 1 , fazer um esboço do gráfico da seguinte função: y = - x 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + 5 6
Seguindo as etapas apresentadas em 5.9 . 1 , fazer um esboço do gráfico da seguinte função: y = x 2 + 4 x + 2
Seguindo as etapas apresentadas em 5.9 . 1 , fazer um esboço do gráfico da seguinte função: y = x + 2 x
Seguindo as etapas apresentadas em 5.9 . 1 , fazer um esboço do gráfico da seguinte função: y = - 1 4 x 4 + 5 3 x 3 - 2 x 2