Enunciado

8. Esboce o mapa de contorno e o gráfico das seguintes funções:

c) f x , y = 2 y - x 2 - y 2

Passo 1

Antes de começar, vamos lembrar o que é mapa de contorno/curva de nível. A curva de nivel é a curva descrita quando igualamos a função a uma constante, isto é:

f x , y = c = 2 y - x 2 - y 2

Agora vamos ver como essas curvas se comportam no plano cartesiano: c = 2 y - x 2 - y 2 ↔ c 2 = 2 y - x 2 - y 2 Completando quadrados e multiplicando ambos os termos por - 1 , temos:

- c 2 = x 2 + y 2 - 2 y ↔ - c 2 = x 2 + y 2 - 2 y + 1 - 1 ↔ - c 2 = x 2 + y - 1 2 - 1

Desta forma, temos que cada curva de nível é representada por:

x 2 + y - 1 2 = 1 - c 2

Para que a equação faça sentido, temos a condição de que c 2 ≤ 1 , então c ≤ 1 .Note que ao elevar ambos os termos ao quadrado para remover a raiz, não perdemos nenhuma curva de nível pois c ≥ 0 .

Essa curva é uma circunferência de centro C = 0 ,   1 e de raio 1 - c 2 . Sabendo disso, temos que para cada c , sua curva de nível é (no exemplo usamos c = 0 ) :

Como as curvas de nível nos ajudam a saber como será o gráfico da função, vamos esboçá-las para alguns valores de c ( 0 ,   , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 7 , e conforme c 2 diminui, o raio aumenta.

Desenhando cada circunferência em z = c para todo c possivel, obtemos o grafico da função, que é:

Resposta

Mapa de contorno:

Gráfico:

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Dada a função f x , y = 1 x 2 + y 2 , pede-se:As equações das curvas de nível z = 1 4 , z = 4 e z = 9 .
Considere a superficie S , união de S 1 e S 2 , onde S 1 tem equação x 2 + y 2 = 4 com 0 ≤ z ≤ 2 , e S 2 é o gráfico da função z = x 2 + y 2 definida no conjunto D , onde D = x , y ∈ R 2 4 ≤ x 2 + y 2
10- Considerando a função z = f x ,y = 7 - x 2 + y 2 ,0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 16 , 25 - x 2 - y 2 ,16 ≤ x 2 + y 2 ≤ 25 b)Identifique a curva de nível que contém o pontoP 0 = ( 1 ,3 ) .
Nos Exercícios 1-4, determine os valores de função específicos.
Nos Exercícios 1-4, determine os valores de função específicos.