Enunciado

8. Esboce o mapa de contorno e o gráfico das seguintes funções:

a) f x , y = x + y 2

Passo 1

Antes de começar, vamos lembrar o que é mapa de contorno/curva de nível. A curva de nivel é a curva descrita quando igualamos a função a uma constante, isto é:

f x , y = c = x + y 2

Agora vamos ver como essas curvas se comportam no plano cartesiano: c = x + y 2 ↔ c - x = y 2 ↔ c - x = y ,   p a r a   x ≤ c

Esse gráfico pode ser obtido a partir do gráfico de √ x , seguido de uma reflexão em torno do eixo y e depois uma translação de + c unidades (como no exercício 6). Note que para c - x = y e c - x = - y , temos que um é a reflexão do outro em relação ao eixo x .Sabendo disso, temos que para cada c , sua curva de nível é (onde verde representa a curva para c - x = + y e azul representa para c - x = - y ) :

Como as curvas de nível nos ajudam a saber como será o gráfico da função, vamos esboçá-las para alguns valores de c (as parábolas têm vértice em x = c ):

Desenhando cada parábola em z = c para todo c possivel, obtemos o grafico da função, que é:

É possível ver que a interseção com o plano z = 0 resulta em uma parábola, como esperado.

Resposta

Mapa de contorno:

Gráfico:

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Nos Exercícios 1-4, determine os valores de função específicos.
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Cada um dos Exercícios 69-74 fornece uma função f (x, y) e um número positivo P. Em cada exercício, mostre que existe um δ 0 tal que, para todo (x, y), x 2 + y 2δ ⇒ f x , y - f 0,0ϵ f x , y = x y 2 x
Cada um dos Exercícios 69-74 fornece uma função f (x, y) e um número positivo P. Em cada exercício, mostre que existe um δ 0 tal que, para todo (x, y), x 2 + y 2δ ⇒ f x , y - f 0,0ϵ f x , y = x + y x
Cada um dos Exercícios 69-74 fornece uma função f (x, y) e um número positivo P. Em cada exercício, mostre que existe um δ 0 tal que, para todo (x, y), x 2 + y 2δ ⇒ f x , y - f 0,0ϵ f x , y = y x 2 +