Enunciado

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.

y = 12 - x 2 ,         y = x 2 - 6

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

A área da região limitada pelas curvas é da seguinte forma:

A = ∫ a b f x - g x d x

Aqui temos o esboço da região, fazemos atribuindo pontos nas curvas:

Vamos achar os pontos de integração das curvas, é só igualar as duas:

12 - x 2 = x 2 - 6

2 x 2 = 18

x 2 = 9

x = ± 3

Fica mais fácil calcular a integral em relação a x , pois em relação a y teríamos que integrar uma raiz, assim vamos ficar com f x = 12 - x 2 , que é a curva mais a cima, e g x = x 2 - 6 , que é a curva mais a baixo, e os limites de integração são x = - 3 e x = 3 , os pontos de intersecção das curvas, e aqui temos o desenho do retângulo aproximante típico:

Passo 2

Vamos agora achar a área:

A = ∫ - 3 3 12 - x 2 - x 2 - 6 d x

= ∫ - 3 3 12 - x 2 - x 2 + 6 d x

= ∫ - 3 3 18 - 2 x 2 d x

= ∫ - 3 3 18   d x + ∫ - 3 3 - 2 x 2 d x

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

∫ k d x = k x + C

Agora é só aplicar:

∫ 18 d x + ∫ - 2 x 2 d x

= ∫ 18 d x - 2 ∫ x 2 d x

= 18 x - 2 ∙ x 2 + 1 2 + 1 + C

= 18 x - 2 x 3 3 + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

A = ∫ - 3 3 18 - 2 x 2   d x

= 18 x - 2 x 3 3 - 3 3

= 18.3 - 2 . 3 3 3 - 18 - 3 - 2 - 3 3 3

= 54 - 18 - - 54 + 18

= 54 - 18 + 54 - 18

= 72

Resposta

A = 72

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